O interior de uma esfera de raio
é uniformemente carregado com densidade de carga
e na sua superfície há uma carga uniformemente distribuída de forma que a carga total seja nula. Qual a energia potencial elétrica total armazenada?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado dá uma esfera de raio
com carga volumétrica uniforme
no interior (para
) e uma carga distribuída uniformemente na superfície
tal que a carga total da esfera (volume + superfície) seja nula. A pergunta é: qual a energia potencial elétrica total armazenada nessa configuração?
Informações relevantes:
- densidade volumétrica:
(constante para ); - raio da esfera:
; - carga total da superfície
carga do volume ; - procura-se
, a energia eletrostática total armazenada.
Passo 2
Primeiro calculemos a carga total contida no volume da esfera (a carga resultante da densidade volumétrica).
A carga volumétrica total é a densidade multiplicada pelo volume da esfera:
Como a carga total do sistema é zero, a carga total da superfície deve ser
A densidade superficial
(carga por unidade de área) da superfície esférica é essa carga dividida pela área
:
Aqui
é constante sobre a superfície.
Passo 3
Agora determinamos o campo elétrico
. Usamos a Lei de Gauss: para uma superfície gaussiana esférica de raio
(centro coincidente com a esfera):
A Lei de Gauss em módulo para campo radial simétrico diz
onde
é a carga total contida dentro do raio
.
Para
(dentro da esfera) a carga encerrada é apenas a carga volumétrica até
:
Substituindo na Lei de Gauss,
Direção radial (para fora se
).
Para
o campo depende da carga total. Como a carga total foi ajustada para ser zero, temos
Observação de consistência: o salto do campo na superfície deve satisfazer
. Aqui
e
, então
implica
, que coincide com o passo 2.
Passo 4
A energia eletrostática total pode ser calculada integrando a densidade de energia do campo no espaço todo:
e
No nosso caso
para
, logo só precisamos integrar para
. Pela simetria esférica,
então
Passo 5
Substituímos
na integral:
Calculemos passo a passo o integrando:
Logo
Passo 6
Calcule a integral
. Agora simplificamos constantes:
Cancelemos um
:
Simplificando a fração
, obtemos
Resposta
(A)