O interior de uma esfera de raio R é uniformemente carregado com densidade de carga \rho e na sua superfície há uma carga uniformemente distribuída de forma que a carga total seja nula. Qual a energia potencial elétrica total armazenada?
(A) U=\frac{2 \pi \rho^{2} R^{5}}{45 \epsilon_{0}}
(B) U=\frac{2 \pi \rho^{2} R}{45 \epsilon_{0}}
(C) U=\frac{2 \pi \rho^{2} R^{3}}{45 \epsilon_{0}}
(D) U=\frac{2 \pi \rho^{2} R^{5}}{5 \epsilon_{0}}
(E) U=\frac{2 \pi \rho^{2} R^{5}}{9 \epsilon_{0}}

Passo 1

O enunciado dá uma esfera de raio R com carga volumétrica uniforme \rho no interior (para r\le R) e uma carga distribuída uniformemente na superfície r=R tal que a carga total da esfera (volume + superfície) seja nula. A pergunta é: qual a energia potencial elétrica total armazenada nessa configuração?
Informações relevantes:
  • densidade volumétrica: \rho (constante para 0\le r\le R);
  • raio da esfera: R;
  • carga total da superfície \,+ carga do volume =0;
  • procura-se U, a energia eletrostática total armazenada.

Passo 2

Primeiro calculemos a carga total contida no volume da esfera (a carga resultante da densidade volumétrica).
A carga volumétrica total é a densidade multiplicada pelo volume da esfera:
Q_{\text{vol}}=\rho\cdot\frac{4}{3}\pi R^{3}.
Como a carga total do sistema é zero, a carga total da superfície deve ser
Q_{\text{surf}}=-Q_{\text{vol}}=-\rho\cdot\frac{4}{3}\pi R^{3}.
A densidade superficial \sigma (carga por unidade de área) da superfície esférica é essa carga dividida pela área 4\pi R^{2}:
\sigma=\frac{Q_{\text{surf}}}{4\pi R^{2}}=-\rho\cdot\frac{4}{3}\pi R^{3}\cdot\frac{1}{4\pi R^{2}}=-\frac{\rho R}{3}.
Aqui \sigma é constante sobre a superfície.

Passo 3

Agora determinamos o campo elétrico \mathbf{E}(r). Usamos a Lei de Gauss: para uma superfície gaussiana esférica de raio r (centro coincidente com a esfera):
A Lei de Gauss em módulo para campo radial simétrico diz
E(r)\,4\pi r^{2}=\frac{Q_{\text{enc}}(r)}{\epsilon_{0}},
onde Q_{\text{enc}}(r) é a carga total contida dentro do raio r.
Para 0\le r\le R (dentro da esfera) a carga encerrada é apenas a carga volumétrica até r:
Q_{\text{enc}}(r)=\rho\cdot\frac{4}{3}\pi r^{3}.
Substituindo na Lei de Gauss,
E(r)\,4\pi r^{2}=\frac{\rho\cdot\frac{4}{3}\pi r^{3}}{\epsilon_{0}} \quad\Rightarrow\quad E(r)=\frac{\rho r}{3\epsilon_{0}}.
Direção radial (para fora se \rho>0).
Para r>R o campo depende da carga total. Como a carga total foi ajustada para ser zero, temos
E(r)=0\quad\text{para }r>R.
Observação de consistência: o salto do campo na superfície deve satisfazer E_{\text{out}}-E_{\text{in}}=\sigma/\epsilon_{0}. Aqui E_{\text{out}}=0 e E_{\text{in}}=E(R^-)=\rho R/(3\epsilon_{0}), então -\rho R/(3\epsilon_{0})=\sigma/\epsilon_{0} implica \sigma=-\rho R/3, que coincide com o passo 2.

Passo 4

A energia eletrostática total pode ser calculada integrando a densidade de energia do campo no espaço todo:
u(\mathbf{r})=\frac{\epsilon_{0}}{2}E^{2}(\mathbf{r}),
e
U=\int_{\text{todo o espaço}} u(\mathbf{r})\,dV=\frac{\epsilon_{0}}{2}\int E^{2}(\mathbf{r})\,dV.ç
No nosso caso E(r)=0 para r>R, logo só precisamos integrar para 0\le r\le R. Pela simetria esférica,
dV=4\pi r^{2}dr,
então
U=\frac{\epsilon_{0}}{2}\int_{0}^{R} E^{2}(r)\,4\pi r^{2}\,dr.

Passo 5

Substituímos E(r)=\dfrac{\rho r}{3\epsilon_{0}} na integral:
U=\frac{\epsilon_{0}}{2}\cdot 4\pi \int_{0}^{R}\left(\frac{\rho r}{3\epsilon_{0}}\right)^{2} r^{2}\,dr.
Calculemos passo a passo o integrando:
\left(\frac{\rho r}{3\epsilon_{0}}\right)^{2} r^{2}=\frac{\rho^{2} r^{2}}{9\epsilon_{0}^{2}}\;r^{2}=\frac{\rho^{2} r^{4}}{9\epsilon_{0}^{2}}.
Logo
U=\frac{\epsilon_{0}}{2}\cdot 4\pi \cdot \frac{\rho^{2}}{9\epsilon_{0}^{2}} \int_{0}^{R} r^{4}\,dr.

Passo 6

Calcule a integral \displaystyle\int_{0}^{R} r^{4}\,dr=\frac{R^{5}}{5}. Agora simplificamos constantes:
U=\frac{\epsilon_{0}}{2}\cdot 4\pi \cdot \frac{\rho^{2}}{9\epsilon_{0}^{2}}\cdot\frac{R^{5}}{5}.
Cancelemos um \epsilon_{0}:
U=\frac{4\pi \rho^{2} R^{5}}{2\cdot 9\cdot 5\,\epsilon_{0}}=\frac{4\pi \rho^{2} R^{5}}{90\,\epsilon_{0}}.
Simplificando a fração 4/90=2/45, obtemos
U=\frac{2\pi \rho^{2} R^{5}}{45\,\epsilon_{0}}.

Resposta

(A) U=\frac{2 \pi \rho^{2} R^{5}}{45 \epsilon_{0}}

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