Q. 5 Usando a técnica que troca y^{\prime}=p e y^{\prime \prime}=\frac{d p}{d y} \cdot p, resolva
y^{\prime \prime}=y^{\prime} \cdot e^{y}
apenas no caso em que se supõe y^{\prime}(0)=1 e y(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'' = y' \,e^{y}
usando a troca de variáveis y' = p e y'' = \frac{dp}{dy}\,p, sujeita às condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=1.

Passo 2

Fazendo y' = p(y), temos pela regra da cadeia
y'' = \frac{dp}{dx} = \frac{dp}{dy}\,\frac{dy}{dx} = p\,\frac{dp}{dy}.
Substituindo na equação original:
p\,\frac{dp}{dy} = p\,e^{y}.
Como precisamos de uma solução com p\neq0 (pois p(0)=1), podemos dividir por p e obter
\frac{dp}{dy} = e^{y}.

Passo 3

Integramos em relação a y:
\int \frac{dp}{dy}\,dy = \int e^{y}\,dy \quad\Longrightarrow\quad p = e^{y} + C_{1}.
Usando p(0)=y'(0)=1 e y(0)=0
1 = e^{0} + C_{1} \quad\Longrightarrow\quad C_{1}=0
Logo
p = y' = e^{y}.

Passo 4

Agora resolvemos a equação de primeira ordem
\frac{dy}{dx} = e^{y}
por separação de variáveis:
e^{-y}\,dy = dx \quad\Longrightarrow\quad \int e^{-y}\,dy = \int dx \quad\Longrightarrow\quad -\,e^{-y} = x + C_{2}.

Passo 5

Aplicando y(0)=0 em -e^{-y} = x + C_{2} quando x=0 e y=0:
-\,e^{0} = 0 + C_{2} \quad\Longrightarrow\quad C_{2} = -1.
Assim
-\,e^{-y} = x - 1 \quad\Longrightarrow\quad e^{-y} = 1 - x \quad\Longrightarrow\quad -y = \ln(1 - x) \quad\Longrightarrow\quad y = -\ln\bigl(1 - x\bigr).

Resposta

y(x) = -\ln\bigl(1 - x\bigr).

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