Usando coordenadas esfericas, calcule o volume da regiao
contida em
do Elipsoide E1:
, acima do plano pi:
.
Passo 1
O enunciado pede o volume da região
que está dentro do elipsoide
e acima do plano
. Vamos usar mudança de variáveis que leva o elipsoide na esfera unitária e, em seguida, coordenadas esféricas nessa esfera.
Passo 2
Definimos
Sob essa transformação o elipsoide vira a esfera unitária
e o jacobiano é
O plano
passa para
logo queremos a parte da esfera com
.
Passo 3
No espaço
a região é um “cap” esférico de raio
delimitado por
. A altura desse cap, medida do plano até o topo da esfera, é
Passo 4
A fórmula do volume de um cap esférico de raio
e altura
é
Aqui
e
, logo
Passo 5
Voltando às variáveis originais, multiplicamos pelo jacobiano
: