Usando coordenadas esfericas, calcule o volume da regiao R contida em R 3 do Elipsoide E1: ((x-1) / 2)^{\wedge} 2+((y-2) / 3)^{\wedge} 2+((z-3) / 4)^{\wedge} 2=1, acima do plano pi: z=3 / 4.

Passo 1

O enunciado pede o volume da região R\subset\mathbb{R}^3 que está dentro do elipsoide
\Bigl(\frac{x-1}{2}\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{y-2}{3}\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{z-3}{4}\Bigr)^2 = 1
e acima do plano \pi: z=\tfrac{3}{4}. Vamos usar mudança de variáveis que leva o elipsoide na esfera unitária e, em seguida, coordenadas esféricas nessa esfera.

Passo 2

Definimos
u = \frac{x-1}{2},\quad v = \frac{y-2}{3},\quad w = \frac{z-3}{4}.
Sob essa transformação o elipsoide vira a esfera unitária
u^2 + v^2 + w^2 \le 1,
e o jacobiano é
J = \det\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} = 2\cdot 3\cdot 4 = 24.
O plano z=\tfrac{3}{4} passa para
w = \frac{\tfrac{3}{4}-3}{4} = -\frac{9}{16},
logo queremos a parte da esfera com w \ge -\tfrac{9}{16}.

Passo 3

No espaço (u,v,w) a região é um “cap” esférico de raio R=1 delimitado por w=-\tfrac{9}{16}. A altura desse cap, medida do plano até o topo da esfera, é
h = R - \bigl(-\tfrac{9}{16}\bigr) = 1 + \tfrac{9}{16} = \tfrac{25}{16}.

Passo 4

A fórmula do volume de um cap esférico de raio R e altura h é
V_{\rm cap} = \pi\,h^2\Bigl(R - \frac{h}{3}\Bigr).
Aqui R=1 e h=\tfrac{25}{16}, logo
V_{\rm cap} = \pi \,\frac{625}{256}\Bigl(1 - \frac{25}{48}\Bigr) = \pi \,\frac{625}{256}\cdot\frac{23}{48} = \frac{625\cdot 23\,\pi}{12288}.

Passo 5

Voltando às variáveis originais, multiplicamos pelo jacobiano 24:
V = 24 \;V_{\rm cap} = 24\cdot \frac{625\cdot 23\,\pi}{12288} = \frac{14375\,\pi}{512}.

Resposta

\frac{14375\pi}{512}.

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