Dada a seguinte e.d.o. linear não-homogênea, encontre a solução complementar da equação homogênea associada y_{c}(x)=c_{1}(x) y_{1}(x)+c_{2}(x) y_{2}(x)+c_{3}(x) y_{3}(x). Em seguida, encontre a solução particular y_{p}(x)= u_{1}(x) y_{1}(x)+u_{2}(x) y_{2}(x)+u_{3}(x) y_{3}(x) da equação diferencial pelo método de Variação de Parâmetros.
y^{(3)}+y^{\prime}=\tan x .
Não utilize fórmulas prontas, mas mostre como se chega à solução da e.d.o. acima usando a regra de Crammer para o sistema:
O enunciado nos dá a equação diferencial não-homogênea de terceira ordem
y^{(3)}+y'= \tan x,
e pede duas coisas:
Encontrar a solução complementar da equação homogênea associada, na forma \;y_{c}(x)=c_{1}y_{1}(x)+c_{2}y_{2}(x)+c_{3}y_{3}(x)\;\) (aqui \(c_{1},c_{2},c_{3}\) são constantes).
- Em seguida, encontrar uma solução particular da equação completa pelo método de variação de parâmetros, isto é, determinar funções \(u_{1}(x),u_{2}(x),u_{3}(x)\) tais que
\[y_{p}(x)=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x)+u_{3}(x)y_{3}(x)
onde usei y_{1}=1,\;y_{1}'=0,\;y_{1}''=0, y_{2}=\cos x,\;y_{2}'=-\sin x,\;y_{2}''=-\cos x, y_{3}=\sin x,\;y_{3}'=\cos x,\;y_{3}''=-\sin x. Esse é exatamente o sistema proposto no enunciado, com f(x)=\tan x.
Para determinar u_{1}',u_{2}',u_{3}' resolvemos o sistema linear
\begin{pmatrix} 1 & \cos x & \sin x\\[4pt] 0 & -\sin x & \cos x\\[4pt] 0 & -\cos x & -\sin x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_{1}'\\[4pt] u_{2}'\\[4pt] u_{3}'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]\tan x\end{pmatrix}.
Agora vamos usar a regra de Cramer (determinantes) como pedido.]
Passo 4
Cálculo do Wronskiano (determinante da matriz acima). Denote W o determinante da matriz com colunas y_{1},y_{2},y_{3} e suas derivadas conforme montagem:
W=\det\begin{pmatrix} 1 & \cos x & \sin x\\[4pt] 0 & -\sin x & \cos x\\[4pt] 0 & -\cos x & -\sin x \end{pmatrix}.
Calculando (expandindo pela primeira coluna):
W = 1\cdot\det\begin{pmatrix}-\sin x & \cos x\\[4pt]-\cos x & -\sin x\end{pmatrix} = (-\sin x)(-\sin x) - (\cos x)(-\cos x) = \sin^{2}x + \cos^{2}x = 1.
Ótimo, W=1, isso facilita Cramer.
Agora montamos as matrizes substituídas e seus determinantes:
Para u_{1}': substituir a primeira coluna pelo vetor do lado direito,
M_{1}=\begin{pmatrix} 0 & \cos x & \sin x\\[4pt] 0 & -\sin x & \cos x\\[4pt] \tan x & -\cos x & -\sin x \end{pmatrix}.
Calculemos \det M_{1}. Usando a fórmula de determinante 3×3:
Integrar para obter u_{1},u_{2},u_{3}. Na variação de parâmetros, podemos escolher as constantes de integração igual a zero (qualquer constante multiplicada por a base y_{i} volta para a solução complementar), então tomo antiderivadas particulares sem constantes.
Sabendo que \int \operatorname{sec} x\,dx=\ln\lvert \operatorname{sec} x + \tan x\rvert, obtemos
u_{3}(x)= -\ln\lvert \operatorname{sec} x + \tan x\rvert + \sin x.
(Observação útil: por identidade \operatorname{sec} x+\tan x=\dfrac{1+\sin x}{\cos x}, portanto \ln|\operatorname{sec} x+\tan x|=\ln|1+\sin x|-\ln|\cos x| — essa identidade pode ajudar a simplificar combinações de logaritmos mais adiante.)
Passo 6
Montar a solução particular y_{p}. Lembrando y_{p}=u_{1}\cdot 1 + u_{2}\cos x + u_{3}\sin x, substituímos as funções encontradas:
Aqui usei \cos^{2}x+\sin^{2}x=1. Note que o termo constante 1 pode ser incorporado à solução complementar multiplicando y_{1}=1 por uma constante; portanto uma forma alternativa para y_{p} sem componente constante é