Dada a seguinte e.d.o. linear não-homogênea, encontre a solução complementar da equação homogênea associada y_{c}(x)=c_{1}(x) y_{1}(x)+c_{2}(x) y_{2}(x)+c_{3}(x) y_{3}(x). Em seguida, encontre a solução particular y_{p}(x)= u_{1}(x) y_{1}(x)+u_{2}(x) y_{2}(x)+u_{3}(x) y_{3}(x) da equação diferencial pelo método de Variação de Parâmetros.
y^{(3)}+y^{\prime}=\tan x .
Não utilize fórmulas prontas, mas mostre como se chega à solução da e.d.o. acima usando a regra de Crammer para o sistema:
\left\{\begin{array}{l} u_{1}^{\prime}(x) y_{1}(x)+u_{2}^{\prime}(x) y_{2}(x)+u_{3}^{\prime}(x) y_{3}(x)=0 \\ u_{1}^{\prime}(x) y_{1}^{\prime}(x)+u_{2}^{\prime}(x) y_{2}^{\prime}(x)+u_{3}^{\prime}(x) y_{3}^{\prime}(x)=0 \\ u_{1}^{\prime}(x) y_{1}^{\prime \prime}(x)+u_{2}^{\prime}(x) y_{2}^{\prime \prime}(x)+u_{3}^{\prime}(x) y_{3}^{\prime \prime}(x)=f(x) \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial não-homogênea de terceira ordem
y^{(3)}+y'= \tan x,
e pede duas coisas:
  • Encontrar a solução complementar da equação homogênea associada, na forma \;y_{c}(x)=c_{1}y_{1}(x)+c_{2}y_{2}(x)+c_{3}y_{3}(x)\;\) (aqui \(c_{1},c_{2},c_{3}\) são constantes). - Em seguida, encontrar uma solução particular da equação completa pelo método de variação de parâmetros, isto é, determinar funções \(u_{1}(x),u_{2}(x),u_{3}(x)\) tais que \[y_{p}(x)=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x)+u_{3}(x)y_{3}(x)
satisfaça a equação dada, resolvendo o sistema
\begin{cases} u_{1}^{\prime} y_{1}+u_{2}^{\prime} y_{2}+u_{3}^{\prime} y_{3}=0,\\[4pt] u_{1}^{\prime} y_{1}^{\prime}+u_{2}^{\prime} y_{2}^{\prime}+u_{3}^{\prime} y_{3}^{\prime}=0,\\[4pt] u_{1}^{\prime} y_{1}^{\prime\prime}+u_{2}^{\prime} y_{2}^{\prime\prime}+u_{3}^{\prime} y_{3}^{\prime\prime}=f(x), \end{cases}
com (f(x)=\tan x].
As informações dadas são apenas a equação e a forma do sistema para variação de parâmetros; não há outras condições iniciais.]

Passo 2

Encontrar a solução geral da homogênea. Consideramos a equação homogênea
y^{(3)}+y'=0.
Procuramos soluções da forma y=e^{rx}. Substituindo:
r^{3}e^{rx}+r e^{rx}=0 \quad\Rightarrow\quad e^{rx}(r^{3}+r)=0.
Como e^{rx}\neq0, obtemos o polinômio característico
r^{3}+r = r(r^{2}+1)=0.
As raízes são r=0 e r=\pm i. Isso fornece uma base de soluções reais da homogênea:
  • para r=0: y_{1}(x)=1;
  • para r=\pm i: soluções reais lineares independentes \cos x e \sin x, isto é y_{2}(x)=\cos x, y_{3}(x)=\sin x.
Portanto a solução complementar (geral da homogênea) é
y_{c}(x)=C_{1}\cdot 1 + C_{2}\cos x + C_{3}\sin x,
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Aplicar variação de parâmetros. Assumimos uma solução particular da forma
y_{p}(x)=u_{1}(x)\cdot 1 + u_{2}(x)\cos x + u_{3}(x)\sin x.
Impondo as condições (para simplificar cálculos)
\begin{cases} u_{1}^{\prime}\cdot 1 + u_{2}^{\prime}\cos x + u_{3}^{\prime}\sin x = 0,\\[4pt] u_{1}^{\prime}\cdot 0 + u_{2}^{\prime}(-\sin x) + u_{3}^{\prime}\cos x = 0,\\[4pt] u_{1}^{\prime}\cdot 0 + u_{2}^{\prime}(-\cos x) + u_{3}^{\prime}(-\sin x) = \tan x, \end{cases}
onde usei y_{1}=1,\;y_{1}'=0,\;y_{1}''=0, y_{2}=\cos x,\;y_{2}'=-\sin x,\;y_{2}''=-\cos x, y_{3}=\sin x,\;y_{3}'=\cos x,\;y_{3}''=-\sin x. Esse é exatamente o sistema proposto no enunciado, com f(x)=\tan x.
Para determinar u_{1}',u_{2}',u_{3}' resolvemos o sistema linear
\begin{pmatrix} 1 & \cos x & \sin x\\[4pt] 0 & -\sin x & \cos x\\[4pt] 0 & -\cos x & -\sin x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_{1}'\\[4pt] u_{2}'\\[4pt] u_{3}'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]\tan x\end{pmatrix}.
Agora vamos usar a regra de Cramer (determinantes) como pedido.]

Passo 4

Cálculo do Wronskiano (determinante da matriz acima). Denote W o determinante da matriz com colunas y_{1},y_{2},y_{3} e suas derivadas conforme montagem:
W=\det\begin{pmatrix} 1 & \cos x & \sin x\\[4pt] 0 & -\sin x & \cos x\\[4pt] 0 & -\cos x & -\sin x \end{pmatrix}.
Calculando (expandindo pela primeira coluna):
W = 1\cdot\det\begin{pmatrix}-\sin x & \cos x\\[4pt]-\cos x & -\sin x\end{pmatrix} = (-\sin x)(-\sin x) - (\cos x)(-\cos x) = \sin^{2}x + \cos^{2}x = 1.
Ótimo, W=1, isso facilita Cramer.
Agora montamos as matrizes substituídas e seus determinantes:
  • Para u_{1}': substituir a primeira coluna pelo vetor do lado direito,
M_{1}=\begin{pmatrix} 0 & \cos x & \sin x\\[4pt] 0 & -\sin x & \cos x\\[4pt] \tan x & -\cos x & -\sin x \end{pmatrix}.
Calculemos \det M_{1}. Usando a fórmula de determinante 3×3:
\det M_{1} =0\cdot(\cdots)-\cos x\cdot\big(0\cdot(-\sin x)-\cos x\cdot\tan x\big) +\sin x\cdot\big(0\cdot(-\cos x)-(-\sin x)\cdot\tan x\big).
Simplificando:
\det M_{1} = -\cos x\cdot(-\cos x\tan x) + \sin x\cdot(\sin x\tan x) = \cos^{2}x\tan x + \sin^{2}x\tan x = (\cos^{2}x+\sin^{2}x)\tan x = \tan x.
Portanto
u_{1}'(x)=\frac{\det M_{1}}{W}=\tan x.
  • Para u_{2}': substituir a segunda coluna,
M_{2}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & \sin x\\[4pt] 0 & 0 & \cos x\\[4pt] 0 & \tan x & -\sin x \end{pmatrix}.
Calculando \det M_{2}:
\det M_{2}=1\cdot(0\cdot(-\sin x)-\cos x\cdot\tan x)-0\cdot(\cdots)+\sin x\cdot(0\cdot\tan x - 0\cdot 0).
Isto dá
\det M_{2} = -\cos x\cdot\tan x = -\sin x.
Logo
u_{2}'(x)=\frac{\det M_{2}}{W}=-\sin x.
  • Para u_{3}': substituir a terceira coluna,
M_{3}=\begin{pmatrix} 1 & \cos x & 0\\[4pt] 0 & -\sin x & 0\\[4pt] 0 & -\cos x & \tan x \end{pmatrix}.
Calculando \det M_{3}:
\det M_{3}=1\cdot\big((- \sin x)\cdot\tan x - 0\cdot(-\cos x)\big) - \cos x\cdot(\cdots)+0\cdot(\cdots) = -\sin x\cdot\tan x = -\frac{\sin^{2}x}{\cos x}.
Portanto
u_{3}'(x)=\frac{\det M_{3}}{W}=-\frac{\sin^{2}x}{\cos x}.
Resumo até aqui:
u_{1}'(x)=\tan x,\qquad u_{2}'(x)=-\sin x,\qquad u_{3}'(x)=-\frac{\sin^{2}x}{\cos x}.]

Passo 5

Integrar para obter u_{1},u_{2},u_{3}. Na variação de parâmetros, podemos escolher as constantes de integração igual a zero (qualquer constante multiplicada por a base y_{i} volta para a solução complementar), então tomo antiderivadas particulares sem constantes.
  1. \;u_{1}(x)=\displaystyle\int \tan x\,dx = -\ln\lvert\cos x\rvert.
    Explicação: \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x} e \int \tan x\,dx = -\ln|\cos x|.
  2. \;u_{2}(x)=\displaystyle\int -\sin x\,dx = \cos x.
  3. Para u_{3}: simplificamos a derivanda antes de integrar:
-\frac{\sin^{2}x}{\cos x} = -\Big(\frac{1-\cos^{2}x}{\cos x}\Big) = -\operatorname{sec} x + \cos x.
Logo
u_{3}(x)=\int\big(-\operatorname{sec} x + \cos x\big)\,dx = -\int \operatorname{sec} x\,dx + \int \cos x\,dx.
Sabendo que \int \operatorname{sec} x\,dx=\ln\lvert \operatorname{sec} x + \tan x\rvert, obtemos
u_{3}(x)= -\ln\lvert \operatorname{sec} x + \tan x\rvert + \sin x.
(Observação útil: por identidade \operatorname{sec} x+\tan x=\dfrac{1+\sin x}{\cos x}, portanto \ln|\operatorname{sec} x+\tan x|=\ln|1+\sin x|-\ln|\cos x| — essa identidade pode ajudar a simplificar combinações de logaritmos mais adiante.)

Passo 6

Montar a solução particular y_{p}. Lembrando y_{p}=u_{1}\cdot 1 + u_{2}\cos x + u_{3}\sin x, substituímos as funções encontradas:
\begin{aligned} y_{p}(x) &= \big(-\ln\lvert\cos x\rvert\big)\cdot 1 + (\cos x)\cdot\cos x + \big(-\ln\lvert \operatorname{sec} x+\tan x\rvert + \sin x\big)\cdot\sin x\\[4pt] &= -\ln\lvert\cos x\rvert + \cos^{2}x + \sin^{2}x - \sin x\;\ln\lvert \operatorname{sec} x+\tan x\rvert\\[4pt] &= 1 - \ln\lvert\cos x\rvert - \sin x\;\ln\lvert \operatorname{sec} x+\tan x\rvert. \end{aligned}
Aqui usei \cos^{2}x+\sin^{2}x=1. Note que o termo constante 1 pode ser incorporado à solução complementar multiplicando y_{1}=1 por uma constante; portanto uma forma alternativa para y_{p} sem componente constante é
y_{p}(x)= - \ln\lvert\cos x\rvert - \sin x\;\ln\lvert \operatorname{sec} x+\tan x\rvert,
caso se prefira que y_{p} seja ortogonal à base constante (mas ambas as formas são soluções particulares válidas).]

Resposta

\displaystyle y_{c}(x)=C_{1}+C_{2}\cos x+C_{3}\sin x
\displaystyle y_{p}(x)=1 - \ln\lvert\cos x\rvert - \sin x\;\ln\lvert \operatorname{sec} x+\tan x\rvert

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