Considere o polinômio f(x)=x^{7}-2 x^{3}+5 x^{2}-5.
Em quais dos intervalos (-\infty ;-1],[-1 ; 0],[0 ; 1] e [1 ;+\infty) é possível garantir que há pelo menos uma raiz de f ?

Passo 1

O enunciado nos dá o polinômio
f(x)=x^{7}-2x^{3}+5x^{2}-5
e pede: em quais dos intervalos (-\infty,-1], [-1,0], [0,1] e [1,\infty) é possível garantir a existência de pelo menos uma raiz de f.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é o polinômio f(x)=x^{7}-2x^{3}+5x^{2}-5.
  • Os intervalos a testar são (-\infty,-1], [-1,0], [0,1] e [1,\infty).
  • Não há outros dados numéricos; portanto usaremos valores de f nos pontos finais e o comportamento de polinômios em \pm\infty.

Passo 2

Ferramenta principal que vamos usar (explicando devagar):
  • Teorema do Valor Intermediário (ou Bolzano): se uma função g é contínua num intervalo fechado [a,b] e g(a) e g(b) têm sinais opostos (ou seja, g(a)\cdot g(b)<0), então existe pelo menos um c\in(a,b) tal que g\text{(c)}=0.
    Explicando palavras: se a função é contínua e passa de positivo para negativo (ou vice-versa) entre dois pontos, ela precisa cruzar o zero em algum ponto entre eles.
  • Observação sobre polinômios: todo polinômio é função contínua em toda a reta real, então podemos aplicar o Teorema do Valor Intermediário em qualquer intervalo.
  • Comportamento em \pm\infty: o termo dominante x^{7} (grau ímpar e coeficiente positivo) implica que \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty.Ou seja, para x muito positivo f(x) é positivo e para x muito negativo f(x) é negativo.

Passo 3

Vamos calcular f nos pontos -1, 0 e 1 (contando tudo passo a passo).
Calcular f(-1).
f(-1)=(-1)^{7}-2(-1)^{3}+5(-1)^{2}-5=-1+2+5-5=1
Calcular f(0).
f(0)=0^{7}-2\cdot0^{3}+5\cdot0^{2}-5=-5
Calcular f(1).
f(1)=1^{7}-2\cdot1^{3}+5\cdot1^{2}-5=1-2+5-5=-1
Resumo dos valores que obtivemos:
f(-1)=1,\quad f(0)=-5,\quad f(1)=-1.

Passo 4

Analisar o intervalo (-\infty,-1].
  • Pelo comportamento em -\infty temos \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty (valor negativo para x muito negativo).
  • Em x=-1 temos f(-1)=1 (positivo).
  • Assim há uma mudança de sinal entre um ponto com x muito negativo (onde f é negativo) e x=-1 (onde f é positivo). Como f é contínua, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz em (-\infty,-1), portanto também em (-\infty,-1].
  • Conclusão: é possível garantir pelo menos uma raiz em (-\infty,-1].

Passo 5

Analisar o intervalo [-1,0].
  • Temos f(-1)=1 e f(0)=-5.
  • Esses valores têm sinais opostos ( 1>0 e -5<0), logo f(-1)\cdot f(0)<0.
  • Pela continuidade e pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos um c\in(-1,0) tal que f\text{(c)}=0.
  • Conclusão: é possível garantir pelo menos uma raiz em [-1,0].

Passo 6

Analisar o intervalo [0,1].
  • Temos f(0)=-5 e f(1)=-1.
  • Ambos são negativos; não há mudança de sinal entre os extremos.
  • O Teorema do Valor Intermediário exige mudança de sinal para garantir a existência de uma raiz; sem mudança de sinal não podemos garantir nada usando apenas esse argumento.
  • Observação didática: isso não prova que não exista raiz em [0,1], apenas que não podemos garantir sua existência com o teste de sinais nos extremos. Portanto, para este enunciado, a resposta é que não se pode garantir raiz em [0,1].

Passo 7

Analisar o intervalo [1,\infty).
  • Em x=1 temos f(1)=-1 (negativo).
  • Para x\to+\infty temos \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty (positivo).
  • Há mudança de sinal entre x=1 e valores suficientemente grandes de x. Pela continuidade e pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz em (1,\infty), portanto em [1,\infty).
  • Conclusão: é possível garantir pelo menos uma raiz em [1,\infty).

Resposta

(-\infty,-1]
[-1,0]
[1,\infty)

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