Considere o polinômio
.
Em quais dos intervalos
e
é possível garantir que há pelo menos uma raiz de
?
Em quais dos intervalos
Passo 1
O enunciado nos dá o polinômio
e pede: em quais dos intervalos
,
,
e
é possível garantir a existência de pelo menos uma raiz de
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função é o polinômio
. - Os intervalos a testar são
, , e . - Não há outros dados numéricos; portanto usaremos valores de
nos pontos finais e o comportamento de polinômios em .
Passo 2
Ferramenta principal que vamos usar (explicando devagar):
- Teorema do Valor Intermediário (ou Bolzano): se uma função
é contínua num intervalo fechado e e têm sinais opostos (ou seja, ), então existe pelo menos um tal que .
Explicando palavras: se a função é contínua e passa de positivo para negativo (ou vice-versa) entre dois pontos, ela precisa cruzar o zero em algum ponto entre eles. - Observação sobre polinômios: todo polinômio é função contínua em toda a reta real, então podemos aplicar o Teorema do Valor Intermediário em qualquer intervalo.
- Comportamento em
: o termo dominante (grau ímpar e coeficiente positivo) implica que Ou seja, para muito positivo é positivo e para muito negativo é negativo.
Passo 3
Vamos calcular
nos pontos
,
e
(contando tudo passo a passo).
Calcular
.
Calcular
.
Calcular
.
Resumo dos valores que obtivemos:
Passo 4
Analisar o intervalo
.
- Pelo comportamento em
temos (valor negativo para muito negativo). - Em
temos (positivo). - Assim há uma mudança de sinal entre um ponto com
muito negativo (onde é negativo) e (onde é positivo). Como é contínua, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz em , portanto também em . - Conclusão: é possível garantir pelo menos uma raiz em
.
Passo 5
Analisar o intervalo
.
- Temos
e . - Esses valores têm sinais opostos (
e ), logo . - Pela continuidade e pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos um
tal que . - Conclusão: é possível garantir pelo menos uma raiz em
.
Passo 6
Analisar o intervalo
.
- Temos
e . - Ambos são negativos; não há mudança de sinal entre os extremos.
- O Teorema do Valor Intermediário exige mudança de sinal para garantir a existência de uma raiz; sem mudança de sinal não podemos garantir nada usando apenas esse argumento.
- Observação didática: isso não prova que não exista raiz em
, apenas que não podemos garantir sua existência com o teste de sinais nos extremos. Portanto, para este enunciado, a resposta é que não se pode garantir raiz em .
Passo 7
Analisar o intervalo
.
- Em
temos (negativo). - Para
temos (positivo). - Há mudança de sinal entre
e valores suficientemente grandes de . Pela continuidade e pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz em , portanto em . - Conclusão: é possível garantir pelo menos uma raiz em
.