Dada a seguinte e.d.o. linear não-homogênea, mostre que y_{1}(x)=\cos (\ln x) e y_{2}(x)=\operatorname{sen}(\ln x) são soluções da e.d.o. homogênea associada. Em seguida, encontre a solução particular para a e.d.o. usando o método de Variação de Parâmetros.
x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+y=\ln x \quad x>0 .
Não utilize fórmulas prontas, mas mostre como se chega à solução da e.d.o. acima usando a regra de Crammer para o sistema:
\left\{\begin{array}{l} u_{1}^{\prime}(x) y_{1}(x)+u_{2}^{\prime}(x) y_{2}(x)=0 \\ u_{1}^{\prime}(x) y_{1}^{\prime}(x)+u_{2}^{\prime}(x) y_{2}^{\prime}(x)=f(x) \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x^{2}y''+x y'+y=\ln x,\qquad x>0,
e pede duas coisas:
  • Mostrar que as funções \,y_{1}(x)=\cos(\ln x)\,\) e \(\,y_{2}(x)=\operatorname{sen}(\ln x)\,\) são soluções da equação homogênea associada (ou seja da equação com lado direito igual a zero). - Encontrar uma solução particular da equação completa usando o método de Variação de Parâmetros, resolvendo o sistema \[\begin{cases} u_{1}^{\prime}(x)y_{1}(x)+u_{2}^{\prime}(x)y_{2}(x)=0,\\[4pt] u_{1}^{\prime}(x)y_{1}^{\prime}(x)+u_{2}^{\prime}(x)y_{2}^{\prime}(x)=f(x), \end{cases}
pelo método de Cramer. Aqui, f(x)\] é o termo não-homogêneo na forma padrão da equação (vou determinar \(f(x) ao colocar a equação na forma padrão).]

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão dividindo por x^{2} (válido porque x>0):
y''+\frac{1}{x}y'+\frac{1}{x^{2}}y=\frac{\ln x}{x^{2}}.
Logo o lado não-homogêneo padrão é
f(x)=\frac{\ln x}{x^{2}}.
Agora verifico que y_{1}(x)=\cos(\ln x) é solução da homogênea. Para simplificar a notação, ponho t=\ln x. Então y_{1}= \cos t. Calculo derivadas em função de x:
y_{1}'(x)=\frac{d}{dx}\cos t = -\sin t\cdot\frac{dt}{dx}=-\frac{1}{x}\sin t,
y_{1}''(x)=\frac{d}{dx}\!\left(-\frac{1}{x}\sin t\right) =\underbrace{\frac{1}{x^{2}}\sin t}_{\text{deriv. de }-1/x\\ } \;-\;\underbrace{\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{x}\cos t}_{\text{deriv. de }\sin t}=\frac{1}{x^{2}}(\sin t-\cos t).
Substituo na equação homogênea x^{2}y''+x y'+y=0:
x^{2}\cdot\frac{1}{x^{2}}(\sin t-\cos t)+x\cdot\left(-\frac{1}{x}\sin t\right)+\cos t =(\sin t-\cos t)-\sin t+\cos t=0.
Logo y_{1} satisfaz a homogênea.
Agora faço o mesmo para y_{2}(x)=\operatorname{sen}(\ln x)=\sin t:
y_{2}'(x)=\frac{1}{x}\cos t,
y_{2}''(x)=\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{x}\cos t\right) =-\frac{1}{x^{2}}\cos t-\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{x}\sin t=-\frac{1}{x^{2}}(\cos t+\sin t).
Substituindo:
x^{2}\cdot\left(-\frac{1}{x^{2}}(\cos t+\sin t)\right)+x\cdot\frac{1}{x}\cos t+\sin t=-(\cos t+\sin t)+\cos t+\sin t=0.
Portanto y_{2} também satisfaz a homogênea. Concluímos que y_{1} e y_{2} são soluções da equação homogênea associada.

Passo 3

Agora aplico o método de Variação de Parâmetros para obter uma solução particular. Faço a ansatz
y_{p}(x)=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x).
Derivando:
y_{p}'=u_{1}'y_{1}+u_{2}'y_{2}+u_{1}y_{1}'+u_{2}y_{2}'.
Para simplificar e obter um sistema resolvível adotamos a condição (padrão no método):
u_{1}'y_{1}+u_{2}'y_{2}=0,
o que reduz y_{p}' a y_{p}'=u_{1}y_{1}'+u_{2}y_{2}'. Derivando outra vez:
y_{p}''=u_{1}'y_{1}'+u_{2}'y_{2}'+u_{1}y_{1}''+u_{2}y_{2}''.
Substituindo y_{p}, y_{p}', y_{p}'' na equação diferencial na forma padrão y''+\frac{1}{x}y'+\frac{1}{x^{2}}y=f(x) e usando que y_{1},y_{2} satisfazem a homogênea, os termos com u_{1}y_{1}''+u_{2}y_{2}'', u_{1}y_{1}'+u_{2}y_{2}' e u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2} cancelam, e sobra a condição
u_{1}'y_{1}'+u_{2}'y_{2}'=f(x),
com f(x)=\dfrac{\ln x}{x^{2}}. Assim chegamos ao sistema pedido:
\begin{cases} u_{1}'(x)y_{1}(x)+u_{2}'(x)y_{2}(x)=0,\\[6pt] u_{1}'(x)y_{1}'(x)+u_{2}'(x)y_{2}'(x)=\dfrac{\ln x}{x^{2}}. \end{cases}]

Passo 4

Resolvo esse sistema linear de duas equações nas incógnitas u_{1}'\) e \(u_{2}'\) usando a regra de Cramer. Escrevo a matriz dos coeficientes e o determinante (Wronskiano): \[W(x)=\begin{vmatrix} y_{1} & y_{2} \\[4pt] y_{1}' & y_{2}'\end{vmatrix}.
Já calculei y_{1}=\cos t,\; y_{2}=\sin t,\; y_{1}'=-\dfrac{1}{x}\sin t,\; y_{2}'=\dfrac{1}{x}\cos t. Então
W(x)=\begin{vmatrix}\cos t & \sin t \\[4pt] -\dfrac{1}{x}\sin t & \dfrac{1}{x}\cos t\end{vmatrix} =\frac{1}{x}\big(\cos^{2}t+\sin^{2}t\big)=\frac{1}{x}.
Pela regra de Cramer, para o sistema
\begin{cases} y_{1}u_{1}'+y_{2}u_{2}'=0,\\[4pt] y_{1}'u_{1}'+y_{2}'u_{2}'=f(x), \end{cases}
temos
u_{1}'=\frac{\begin{vmatrix}0 & y_{2}\\[4pt] f(x) & y_{2}'\end{vmatrix}}{W} =\frac{0\cdot y_{2}'-y_{2}\,f(x)}{W}=-\frac{y_{2}f(x)}{W},
u_{2}'=\frac{\begin{vmatrix}y_{1} & 0\\[4pt] y_{1}' & f(x)\end{vmatrix}}{W} =\frac{y_{1}f(x)-0\cdot y_{1}'}{W}=\frac{y_{1}f(x)}{W}.
Substituindo (y_{1}=\cos t,; y_{2}=\sin t,; f(x)=\dfrac{\ln x}{x^{2}},; W=\dfrac{1}{x}], obtenho
u_{1}'(x)=-\frac{\sin t\cdot\frac{\ln x}{x^{2}}}{1/x}=-\frac{\ln x}{x}\sin t,
u_{2}'(x)=\frac{\cos t\cdot\frac{\ln x}{x^{2}}}{1/x}=\frac{\ln x}{x}\cos t.]

Passo 5

Agora integro u_{1}' e u_{2}'. Faço a substituição t=\ln x, então dt=\dfrac{dx}{x}. Assim:
u_{1}(x)=-\int \frac{\ln x}{x}\sin(\ln x)\,dx = -\int t\sin t\,dt,
u_{2}(x)=\int \frac{\ln x}{x}\cos(\ln x)\,dx = \int t\cos t\,dt.
Calculo as integrais por partes. Para I_{1}=\int t\sin t\,dt, tomo a=t,\\ db=\sin t\,dt, então da=dt,\\ b=-\cos t. Assim
I_{1}=-t\cos t+\int \cos t\,dt=-t\cos t+\sin t+C.
Logo
u_{1}(x)=-I_{1}=t\cos t-\sin t + C_{1}.
Para I_{2}=\int t\cos t\,dt, tomo a=t,\\ db=\cos t\,dt, então b=\sin t. Assim
I_{2}=t\sin t-\int \sin t\,dt=t\sin t+\cos t +C.
Logo
u_{2}(x)=I_{2}=t\sin t+\cos t + C_{2}.
No método de variação de parâmetros podemos escolher as constantes de integração C_{1},C_{2} iguais a zero (qualquer contribuição constante incorporaria apenas combinações das soluções homogêneas já existentes), então tomo
u_{1}(x)=t\cos t-\sin t,\qquad u_{2}(x)=t\sin t+\cos t,
lembrando que t=\ln x.

Passo 6

Agora construo a solução particular:
y_{p}(x)=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}=(t\cos t-\sin t)\cos t+(t\sin t+\cos t)\sin t.
Agrupando termos:
y_{p}=t(\cos^{2}t+\sin^{2}t)+\big(-\sin t\cos t+\cos t\sin t\big)=t\cdot 1 + 0 = t.
Como t=\ln x, obtemos a solução particular simples
y_{p}(x)=\ln x.
Checagem rápida (opcional, mas boa prática): y_{p}'=1/x,\; y_{p}''=-1/x^{2}. Então
x^{2}y_{p}''+x y_{p}'+y_{p}=x^{2}\left(-\frac{1}{x^{2}}\right)+x\left(\frac{1}{x}\right)+\ln x=-1+1+\ln x=\ln x,
como desejado.

Passo 7

Portanto a solução geral da equação não-homogênea é a soma da solução geral da homogênea mais a particular:
y(x)=C_{1}\cos(\ln x)+C_{2}\operatorname{sen}(\ln x)+\ln x,\qquad C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}.

Resposta

y_{1}(x)=\cos(\ln x) e y_{2}(x)=\operatorname{sen}(\ln x) são soluções da equação homogênea.
Uma solução particular é y_{p}(x)=\ln x.
Solução geral: y(x)=C_{1}\cos(\ln x)+C_{2}\operatorname{sen}(\ln x)+\ln x.

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