Dada a seguinte e.d.o. linear não-homogênea, mostre que y_{1}(x)=\cos (\ln x) e y_{2}(x)=\operatorname{sen}(\ln x) são soluções da e.d.o. homogênea associada. Em seguida, encontre a solução particular para a e.d.o. usando o método de Variação de Parâmetros.
x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+y=\ln x \quad x>0 .
Não utilize fórmulas prontas, mas mostre como se chega à solução da e.d.o. acima usando a regra de Crammer para o sistema:
Mostrar que as funções \,y_{1}(x)=\cos(\ln x)\,\) e \(\,y_{2}(x)=\operatorname{sen}(\ln x)\,\) são soluções da equação homogênea associada (ou seja da equação com lado direito igual a zero).
- Encontrar uma solução particular da equação completa usando o método de Variação de Parâmetros, resolvendo o sistema
\[\begin{cases} u_{1}^{\prime}(x)y_{1}(x)+u_{2}^{\prime}(x)y_{2}(x)=0,\\[4pt] u_{1}^{\prime}(x)y_{1}^{\prime}(x)+u_{2}^{\prime}(x)y_{2}^{\prime}(x)=f(x), \end{cases}
pelo método de Cramer. Aqui, f(x)\] é o termo não-homogêneo na forma padrão da equação (vou determinar \(f(x) ao colocar a equação na forma padrão).]
Passo 2
Primeiro colocamos a equação na forma padrão dividindo por x^{2} (válido porque x>0):
Agora verifico que y_{1}(x)=\cos(\ln x) é solução da homogênea. Para simplificar a notação, ponho t=\ln x. Então y_{1}= \cos t. Calculo derivadas em função de x:
y_{1}'(x)=\frac{d}{dx}\cos t = -\sin t\cdot\frac{dt}{dx}=-\frac{1}{x}\sin t,
y_{1}''(x)=\frac{d}{dx}\!\left(-\frac{1}{x}\sin t\right) =\underbrace{\frac{1}{x^{2}}\sin t}_{\text{deriv. de }-1/x\\ } \;-\;\underbrace{\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{x}\cos t}_{\text{deriv. de }\sin t}=\frac{1}{x^{2}}(\sin t-\cos t).
Substituo na equação homogênea x^{2}y''+x y'+y=0:
x^{2}\cdot\frac{1}{x^{2}}(\sin t-\cos t)+x\cdot\left(-\frac{1}{x}\sin t\right)+\cos t =(\sin t-\cos t)-\sin t+\cos t=0.
Logo y_{1} satisfaz a homogênea.
Agora faço o mesmo para y_{2}(x)=\operatorname{sen}(\ln x)=\sin t:
Substituindo y_{p}, y_{p}', y_{p}'' na equação diferencial na forma padrão y''+\frac{1}{x}y'+\frac{1}{x^{2}}y=f(x) e usando que y_{1},y_{2} satisfazem a homogênea, os termos com u_{1}y_{1}''+u_{2}y_{2}'', u_{1}y_{1}'+u_{2}y_{2}' e u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2} cancelam, e sobra a condição
u_{1}'y_{1}'+u_{2}'y_{2}'=f(x),
com f(x)=\dfrac{\ln x}{x^{2}}. Assim chegamos ao sistema pedido:
Resolvo esse sistema linear de duas equações nas incógnitas u_{1}'\) e \(u_{2}'\) usando a regra de Cramer. Escrevo a matriz dos coeficientes e o determinante (Wronskiano):
\[W(x)=\begin{vmatrix} y_{1} & y_{2} \\[4pt] y_{1}' & y_{2}'\end{vmatrix}.
Já calculei y_{1}=\cos t,\; y_{2}=\sin t,\; y_{1}'=-\dfrac{1}{x}\sin t,\; y_{2}'=\dfrac{1}{x}\cos t. Então
W(x)=\begin{vmatrix}\cos t & \sin t \\[4pt] -\dfrac{1}{x}\sin t & \dfrac{1}{x}\cos t\end{vmatrix} =\frac{1}{x}\big(\cos^{2}t+\sin^{2}t\big)=\frac{1}{x}.
Calculo as integrais por partes. Para I_{1}=\int t\sin t\,dt, tomo a=t,\\ db=\sin t\,dt, então da=dt,\\ b=-\cos t. Assim
I_{1}=-t\cos t+\int \cos t\,dt=-t\cos t+\sin t+C.
Logo
u_{1}(x)=-I_{1}=t\cos t-\sin t + C_{1}.
Para I_{2}=\int t\cos t\,dt, tomo a=t,\\ db=\cos t\,dt, então b=\sin t. Assim
I_{2}=t\sin t-\int \sin t\,dt=t\sin t+\cos t +C.
Logo
u_{2}(x)=I_{2}=t\sin t+\cos t + C_{2}.
No método de variação de parâmetros podemos escolher as constantes de integração C_{1},C_{2} iguais a zero (qualquer contribuição constante incorporaria apenas combinações das soluções homogêneas já existentes), então tomo
y_{1}(x)=\cos(\ln x) e y_{2}(x)=\operatorname{sen}(\ln x) são soluções da equação homogênea.
Uma solução particular é y_{p}(x)=\ln x.
Solução geral: y(x)=C_{1}\cos(\ln x)+C_{2}\operatorname{sen}(\ln x)+\ln x.