Dada a seguinte equação
 
Mostre que a solução é
¡u
 
onde 
  é uma constante e 
  satisfaz:
 
Em seguida escreva 
  como
 
com 
  e mostre que
 
¡u
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que envolve derivadas de segunda ordem em relação a 
  e derivadas parciais em relação ao tempo 
 . O objetivo é encontrar uma solução para 
  na forma de uma exponencial complexa e, depois, descobrir os valores de 
  e 
  que satisfazem a equação dada. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais e ondas harmônicas.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução 
  pode ser escrita como uma exponencial complexa da seguinte forma:
Aqui, 
  é uma constante, 
  é um número complexo que precisamos determinar, e 
  é a frequência angular da onda.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de 
  necessárias para substituir na equação original. Primeiro, a segunda derivada de 
  em relação a 
 :
Em seguida, a primeira derivada de 
  em relação a 
 :
E a segunda derivada de 
  em relação a 
 :
Passo 4
Vamos substituir essas derivadas na equação original:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por 
 :
Isso nos dá a relação para 
 .
Passo 5
Queremos expressar 
  como 
 , onde 
  e 
 . Vamos fazer essa substituição:
Agora, elevamos 
  ao quadrado:
Sabemos que isso deve ser igual a 
 .
Passo 6
Igualando as partes reais e imaginárias, temos:
Vamos resolver esse sistema de equações. Da segunda equação, podemos expressar 
  em termos de 
 :
Substituindo isso na primeira equação:
Multiplicando ambos os lados por 
 :
Rearranjando:
Isso é uma equação quadrática em 
 . Resolvendo para 
  e, posteriormente, para 
 , obtemos as expressões desejadas para 
  e 
 .
Resposta
Assim, as soluções para 
  e 
  são: