Questão 01 Uma quadra para prática de esportes consiste em uma região retangular com um semicírculo em cada extremidade (Figura 1). O perímetro da quadra deve ter 200 m . Encontre as dimensões que maximizem a área da região retangular. (Valor: 2,5 pontos)
Figura 1 Quadra de esportes.
Passo 1
Vamos resolver um problema de otimização onde temos uma quadra de esportes que é formada por uma parte retangular com semicírculos em cada extremidade. O perímetro total dessa quadra é de 200 metros. Nosso objetivo é encontrar as dimensões da parte retangular que vão maximizar a sua área. Para isso, vamos usar conceitos de geometria e cálculo básico.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis. Vamos chamar o comprimento da parte retangular de 
  e a largura de 
 . Como há um semicírculo em cada extremidade, o diâmetro do semicírculo é igual à largura 
 . Portanto, o raio 
  dos semicírculos é 
 .
Passo 3
Agora, vamos calcular o perímetro total da quadra. O perímetro inclui os dois lados do retângulo e os dois semicírculos. A fórmula do perímetro será:
Substituindo 
  por 
 :
Passo 4
Queremos maximizar a área da parte retangular, que é dada por:
Mas precisamos relacionar 
  com uma única variável. Vamos resolver a equação do perímetro para 
 :
Agora, substituímos 
  na fórmula da área:
Passo 5
Para encontrar o valor de 
  que maximiza a área, derivamos a função 
  em relação a 
  e igualamos a zero:
Passo 6
Agora que temos 
 , substituímos de volta para encontrar 
 :
Resposta
As dimensões que maximizam a área da região retangular são: