Dada a seguinte sequência:
a sequência converge?
Passo 1
Vamos dar uma olhada na questão: Temos a sequência $ \left{ \frac{1}{5}, \frac{1}{7}, \frac{1}{9}, \frac{1}{11}, \frac{1}{13}, \dots \right} $ e precisamos descobrir se ela converge. Para resolver isso, vamos usar conceitos de sequência numérica e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma sequência que converge. Uma sequência converge se ela se aproxima de um valor específico à medida que os termos aumentam. Esse valor específico é chamado de limite da sequência.
Passo 3
Observando a nossa sequência, os denominadores estão aumentando de forma contínua: 5, 7, 9, 11, 13, e assim por diante. Isso significa que, conforme avançamos na sequência, os denominadores ficam maiores.
Passo 4
Quando os denominadores de uma fração aumentam sem parar, o valor da fração diminui. Por exemplo, $ \frac{1}{5} = 0,2 $, $ \frac{1}{7} \approx 0,1429 $, $ \frac{1}{9} \approx 0,1111 $, e assim por diante. Podemos ver que os valores estão se aproximando cada vez mais de 0.
Passo 5
Matematicamente, podemos expressar isso como $ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2n+3} $, onde o denominador cresce indefinidamente. Conforme $ n $ tende ao infinito, $ \frac{1}{2n+3} $ tende a 0.
Resposta
Sim, a sequência $ \left{ \frac{1}{5}, \frac{1}{7}, \frac{1}{9}, \frac{1}{11}, \frac{1}{13}, \dots \right} $ converge para 0.