Dado o campo vetorial F(x, y)=x y^2 i+x^2 y j : Determine uma função f tal que F=nabla f.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma função escalar f(x,y) cujo gradiente seja o campo vetorial F(x,y)=x y^2,i+x^2 y,j. Isso é um problema de campos conservativos: primeiro precisamos verificar a condição de integrabilidade e depois integrar as componentes.

Passo 2

Identificamos P(x,y)=x y^2 e Q(x,y)=x^2 y. Calculamos as derivadas parciais cruzadas:
partial Ppartial y=2xy e partial Qpartial x=2xy. Como partial P/partial y=partial Q/partial x, o campo é conservativo.

Passo 3

Para achar f, integramos P(x,y) em relação a x:
f(x,y)=integral x y^2,dx=x^2 y^22+g(y), onde g(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Derivamos f em relação a y e igualamos a Q:
partial fpartial y=x^2 y+g'(y)stackrel!=x^2 y. Daí g'(y)=0, logo g(y) é constante. Concluímos que uma função potencial é f(x,y) = x^2 y^22 + C, onde C é uma constante.

Resposta

f(x,y)=tfrac12 x^2 y^2 + C

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