Simplifique e faça o estudo de sinal:
[(x+h)^2-x^2]h

Passo 1

O enunciado nos pede para simplificar a expressão (x+h)^2 - x^2h e fazer o estudo de sinal. O conteúdo envolve desenvolvimento de binômio, fatoração e estudo de sinal de função afim.

Passo 2

Começamos desenvolvendo o numerador:
(x+h)^2 - x^2 = x^2 + 2xh + h^2 - x^2 = 2xh + h^2
Agora fatoramos h:
2xh + h^2 = h(2x + h)

Passo 3

Como hneq0 (senão a expressão não faz sentido), podemos cancelar h com o denominador. Logo
(x+h)^2 - x^2h = 2x + h

Passo 4

O domínio fica sendo todos os xinR para um parâmetro hneq0. Para o estudo de sinal, igualamos
2x + h = 0 Longrightarrow x = -h2

Passo 5

Agora determinamos em que intervalos 2x+h é positivo ou negativo:
  • 2x+h>0 se e somente se x> -h2
  • 2x+h<0 se e somente se x< -h2

Resposta

A expressão simplificada é 2x + h. Ela se anula em x=-tfrach2; é positiva para x> -tfrach2 e negativa para x< -tfrach2, com domínio xinR e hneq0.

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