Determine as dimensões do cilindro circular reto de maior volume que possa ser inscrito num cone circular reto com raio de 5 cm e de altura 12 cm.

Passo 1

Vamos encontrar as dimensões (raio e altura) do cilindro circular reto inscrito num cone de raio de base 5 cm e altura 12 cm que maximize o volume. Vamos usar semelhança de triângulos e otimização por derivada.

Passo 2

Considere o eixo vertical do cone, com a base no plano z=0 e o vértice no ponto z=12. Seja h a altura do cilindro (medida a partir da base do cone) e r o seu raio. A semelhança entre o triângulo do cone e o triângulo formado pela geratriz acima do topo do cilindro dá:
r : (12 - h) = 5 : 12
Logo,
r = 5l(1 - h12r)

Passo 3

O volume do cilindro é
V = pi r^2 h = pi l[5(1 - tfrach12)r]^2 h = 25pi144,h,(12 - h)^2

Passo 4

Para achar o máximo, derivamos V em relação a h:
V'(h) = 25pi144 l[(12 - h)^2 - 2h(12 - h)r] = 25pi144(12 - h)(12 - 3h)
Igualando a zero vem h = 12 (mínimo trivial) ou h = 4 cm (máximo útil).

Passo 5

Substituindo h = 4 cm na relação de semelhança,
r = 5l(1 - tfrac412r) = 5timestfrac23 = tfrac103 cm

Resposta

O cilindro de maior volume inscrito no cone tem altura h = 4 cm e raio r = 10/3 cm.

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