Determine as dimensões do cilindro circular reto de maior volume que possa ser inscrito num cone circular reto com raio de
e de altura
.
Passo 1
Vamos encontrar as dimensões (raio e altura) do cilindro circular reto inscrito num cone de raio de base 5 cm e altura 12 cm que maximize o volume. Vamos usar semelhança de triângulos e otimização por derivada.
Passo 2
Considere o eixo vertical do cone, com a base no plano z=0 e o vértice no ponto z=12. Seja h a altura do cilindro (medida a partir da base do cone) e r o seu raio. A semelhança entre o triângulo do cone e o triângulo formado pela geratriz acima do topo do cilindro dá:
Logo,
Passo 3
O volume do cilindro é
Passo 4
Para achar o máximo, derivamos V em relação a h:
Igualando a zero vem h = 12 (mínimo trivial) ou h = 4 cm (máximo útil).
Passo 5
Substituindo h = 4 cm na relação de semelhança,
Resposta
O cilindro de maior volume inscrito no cone tem altura h = 4 cm e raio r = 10/3 cm.