Dada as seguintes funções:
f(x)=2 x+3 \quad g(x)=3 x^{4}-x^{3} \quad h(x)=2|x-2|
Calcule as seguintes funções compostas:
(f \circ h)(x)=

Passo 1

O enunciado dá três funções e pede a função composta (f\circ h)(x). Os dados são (escrevi exatamente como no enunciado):
f(x)=2x+3,\qquad g(x)=3x^{4}-x^{3},\qquad h(x)=2|x-2|.
A pergunta específica que vamos responder é:
  • Calcular (f\circ h)(x).

Passo 2

O que significa (f\circ h)(x)?
Por definição de composição de funções:
(f\circ h)(x)=f(h(x)).
Isto quer dizer: primeiro calcula-se h(x), e depois aplica-se f ao resultado h(x). Não se usa g aqui porque a composição pedida é f com h.

Passo 3

Vamos aplicar a definição: como f(t)=2t+3 para uma variável genérica t, ao substituir t=h(x) obtemos
(f\circ h)(x)=2\cdot h(x)+3.
Agora substituímos h(x)=2|x-2|:
(f\circ h)(x)=2\cdot\bigl(2|x-2|\bigr)+3.
Fazendo a multiplicação por escalar:
(f\circ h)(x)=4|x-2|+3.
Esse já é um resultado correto e compacto: a composição é 4|x-2|+3.

Passo 4

Para entender bem e para usar na prova, é útil escrever a função sem o símbolo de valor absoluto, em forma peça a peça. Lembre que
|x-2|=\begin{cases} x-2, & x\ge 2,\\[4pt] 2-x, & x<2. \end{cases}
Substituindo essa definição em (f\circ h)(x)=4|x-2|+3 obtemos, caso a caso:
Para x\ge 2:
(f\circ h)(x)=4(x-2)+3=4x-8+3=4x-5.
Para x<2:
(f\circ h)(x)=4(2-x)+3=8-4x+3=11-4x.
Portanto a forma peça a peça é
(f\circ h)(x)=\begin{cases} 4x-5, & x\ge 2,\\[4pt] 11-4x, & x<2. \end{cases}]

Passo 5

Verificações rápidas (para ganhar confiança):
  • Se x=3 (que é \ge2), a forma com valor absoluto dá 4|3-2|+3=4\cdot1+3=7. A forma peça a peça dá 4\cdot3-5=12-5=7. Batem.
  • Se x=0 (que é <2), a forma com valor absoluto dá 4|0-2|+3=4\cdot2+3=11. A forma peça a peça dá 11-4\cdot0=11. Batem.
    Observação: a função é contínua em x=2 porque ambos os ramos valem 3 naquele ponto:
4\cdot2-5=3,\qquad 11-4\cdot2=3.

Passo 6

Resumo rápido e dica de prova: para composições do tipo f(h(x)) com f linear (como 2t+3) e h envolvendo valor absoluto, normalmente basta substituir e depois, se pedirem, reescrever em forma peça a peça usando a definição de |\cdot|. Isso é rápido e evita erros.

Resposta

(f\circ h)(x)=4|x-2|+3=\begin{cases} 4x-5, & x\ge 2,\\[4pt] 11-4x, & x<2. \end{cases}]

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