Dada as seguintes funções:
f(x)=2 x+3 \quad g(x)=3 x^{4}-x^{3} \quad h(x)=2|x-2|
Calcule as seguintes funções compostas:
(g \circ h)(x)=

Passo 1

O enunciado dá as três funções e pede a função composta (g\circ h)(x). Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido:
  • Funções dadas: f(x)=2x+3,\qquad g(x)=3x^{4}-x^{3},\qquad h(x)=2|x-2|.
  • O que o enunciado pede: calcular (g\circ h)(x), isto é, a função g aplicada ao valor h(x). Em notação: (g\circ h)(x)=g\bigl(h(x)\bigr).

Passo 2

Explicar o que significa compor: se g(t)=3t^{4}-t^{3}, então para qualquer expressão t=h(x) substitui-se t por h(x). Assim, por definição,
(g\circ h)(x)=3\bigl(h(x)\bigr)^{4}-\bigl(h(x)\bigr)^{3}.

Passo 3

Substituir h(x)=2|x-2| na expressão obtida. Cada ocorrência de h(x) vira 2|x-2|:
(g\circ h)(x)=3\bigl(2|x-2|\bigr)^{4}-\bigl(2|x-2|\bigr)^{3}.

Passo 4

Calcular as potências numéricas passo a passo (sem pular etapas):
  • Primeiro, \bigl(2|x-2|\bigr)^{4}=2^{4}\,|x-2|^{4}=16\,|x-2|^{4}.
  • Segundo, \bigl(2|x-2|\bigr)^{3}=2^{3}\,|x-2|^{3}=8\,|x-2|^{3}.
Substituindo de volta:
(g\circ h)(x)=3\cdot16\,|x-2|^{4}-8\,|x-2|^{3}=48\,|x-2|^{4}-8\,|x-2|^{3}.

Passo 5

Explicar por que dá para simplificar um pouco usando propriedades da valor absoluto:
  • Para potências pares vale |a|^{2k}=a^{2k}. Como 4 é par, tem-se |x-2|^{4}=(x-2)^{4}. Portanto o primeiro termo pode ser escrito como 48(x-2)^{4}.
  • Para potências ímpares não se pode simplesmente remover o valor absoluto: |x-2|^{3} permanece |x-2|^{3}, mas pode ser reescrito de forma útil em duas peças (peça a peça) usando |x-2|=x-2 se x\ge2 e |x-2|=2-x se x<2.
Também é possível fatorar um fator comum:
48\,|x-2|^{4}-8\,|x-2|^{3}=8\,|x-2|^{3}\bigl(6|x-2|-1\bigr).

Passo 6

Dar a forma peça a peça (útil em provas quando pedem expressão sem valor absoluto):
  • Se x\ge2, então |x-2|=x-2 e (g\circ h)(x)=48(x-2)^{4}-8(x-2)^{3}.
  • Se x<2, então |x-2|=2-x. Como |x-2|^{4}=(x-2)^{4} e |x-2|^{3}=-(x-2)^{3}, uma forma conveniente é (g\circ h)(x)=48(x-2)^{4}+8(x-2)^{3},que é equivalente a (g\circ h)(x)=48(2-x)^{4}-8(2-x)^{3}.

Resposta

(g\circ h)(x)=48\,|x-2|^{4}-8\,|x-2|^{3}

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