Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre a função
As perguntas são:
- Determinar o domínio de
(os valores de para os quais a expressão faz sentido). - Determinar a imagem (o conjunto de valores possíveis de
).
Informações dadas: a expressão dentro da raiz é
. Nada mais foi fornecido.
Passo 2
Regras básicas que vamos usar (explicadas de forma direta):
- A raiz quadrada
só está definida para argumentos não negativos. Ou seja, para que exista precisamos ter
- Além disso, a expressão está no denominador. O denominador não pode ser zero, portanto devemos excluir os pontos onde a raiz seria zero. Ou seja, precisamos de
Portanto a condição do domínio é
Passo 3
Vamos fatorar o polinômio dentro da raiz para entender onde ele é positivo:
As raízes são
e
. Como é um polinômio quadrático com coeficiente de
positivo, ele é positivo fora das raízes e negativo entre elas. Logo a desigualdade
é satisfeita quando
ou
. Portanto o domínio é
Observação rápida:
e
não pertencem ao domínio porque aí o radicando é zero e o denominador anularia a função.
Passo 4
Agora vamos achar a imagem. Primeiro observações simples:
- Para todo
do domínio temos , portanto . A imagem está contida em . - Verificamos os comportamentos-limite que determinam se todos os valores positivos são efetivamente assumidos:
- Ao aproximar
de pela esquerda ou de pela direita o radicando tende para , logo e
Assim atinge valores arbitrariamente grandes. - Quando
, o termo dominante é , então , , e
Assim pode ser arbitrariamente pequeno e positivo, aproximando-se de sem nunca atingi-lo. - Ao aproximar
- Para reforçar que todos os valores positivos são atingidos: em cada intervalo de domínio a função é contínua e varia entre
e . Mais precisamente: - Em
tem-se e . Como é contínua nesse intervalo, por Bolzano (ou pelo teorema do valor intermediário) ela assume todo valor em ao variar em . - Em
tem-se e , cobrindo também todos os valores em .
Portanto a imagem da função é todo o conjunto dos reais positivos:
- Em
Resposta
Domínio:
Imagem:
Imagem: