Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-4 x+3}}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre a função
f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-4x+3}}.
As perguntas são:
  • Determinar o domínio de f (os valores de x para os quais a expressão faz sentido).
  • Determinar a imagem (o conjunto de valores possíveis de f(x)).
Informações dadas: a expressão dentro da raiz é x^{2}-4x+3. Nada mais foi fornecido.

Passo 2

Regras básicas que vamos usar (explicadas de forma direta):
  • A raiz quadrada \sqrt{\,\cdot\,} só está definida para argumentos não negativos. Ou seja, para que \sqrt{x^{2}-4x+3} exista precisamos ter
x^{2}-4x+3 \ge 0.
  • Além disso, a expressão está no denominador. O denominador não pode ser zero, portanto devemos excluir os pontos onde a raiz seria zero. Ou seja, precisamos de
\sqrt{x^{2}-4x+3}\neq 0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}-4x+3>0.
Portanto a condição do domínio é
x^{2}-4x+3>0.

Passo 3

Vamos fatorar o polinômio dentro da raiz para entender onde ele é positivo:
x^{2}-4x+3=(x-1)(x-3).
As raízes são x=1 e x=3. Como é um polinômio quadrático com coeficiente de x^{2} positivo, ele é positivo fora das raízes e negativo entre elas. Logo a desigualdade
(x-1)(x-3)>0
é satisfeita quando x<1 ou x>3. Portanto o domínio é
(-\infty,1)\cup(3,\infty).
Observação rápida: x=1 e x=3 não pertencem ao domínio porque aí o radicando é zero e o denominador anularia a função.

Passo 4

Agora vamos achar a imagem. Primeiro observações simples:
  • Para todo x do domínio temos \sqrt{x^{2}-4x+3}>0, portanto f(x)>0. A imagem está contida em (0,\infty).
  • Verificamos os comportamentos-limite que determinam se todos os valores positivos são efetivamente assumidos:
    • Ao aproximar x de 1 pela esquerda ou de 3 pela direita o radicando tende para 0^{+}, logo \sqrt{x^{2}-4x+3}\to 0^{+} e
    f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-4x+3}}\to +\infty.Assim f atinge valores arbitrariamente grandes.
    • Quando |x|\to\infty, o termo dominante é x^{2}, então x^{2}-4x+3\sim x^{2}, \sqrt{x^{2}-4x+3}\sim |x|, e
    f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-4x+3}}\sim\frac{1}{|x|}\to 0^{+}.Assim f(x) pode ser arbitrariamente pequeno e positivo, aproximando-se de 0 sem nunca atingi-lo.
  • Para reforçar que todos os valores positivos são atingidos: em cada intervalo de domínio a função é contínua e varia entre 0^{+} e +\infty. Mais precisamente:
    • Em (-\infty,1) tem-se \lim_{x\to -\infty}f(x)=0^{+} e \lim_{x\to 1^-}f(x)=+\infty. Como f é contínua nesse intervalo, por Bolzano (ou pelo teorema do valor intermediário) ela assume todo valor em (0,\infty) ao variar em (-\infty,1).
    • Em (3,\infty) tem-se \lim_{x\to 3^+}f(x)=+\infty e \lim_{x\to +\infty}f(x)=0^{+}, cobrindo também todos os valores em (0,\infty).
      Portanto a imagem da função é todo o conjunto dos reais positivos:
(0,\infty).

Resposta

Domínio: (-\infty,1)\cup(3,\infty)
Imagem: (0,\infty)

Exercícios relacionados