Dada as seguintes funções de transferência, determine a Laplace Inversa.
G(s)=1(s+1)^3(s+4)

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente tem a função de transferência
G(s)=1(s+1)^3,(s+4)
e precisa encontrar a transformada inversa de Laplace .
Conteúdo envolvido: decomposição em frações parciais e uso das fórmulas padrão de .
O que vamos precisar:
  • Saber que .
  • Fazer a decomposição de 1(s+1)^3(s+4) = As+1 + B(s+1)^2 + C(s+1)^3 + Ds+4 em frações simples:

Passo 2

Montamos a igualdade multiplicando ambos os lados por 1 = A,(s+1)^2(s+4) ;+; B,(s+1)(s+4);+; C,(s+4);+; D,(s+1)^3 :
1 = C,( (-1)+4 ) = 3C Longrightarrow C = tfrac13
Para achar 1 = D,((-4)+1)^3 = D,(-3)^3 = -27D Longrightarrow D = -tfrac127 e rápido, a gente “zerota” nos polos:
  • Em :
  • Em :

Passo 3

Agora usamos a expansão em potências de A(s+1)^2(s+4)=A[s^3+6s^2+9s+4], B(s+1)(s+4)=B[s^2+5s+4], D(s+1)^3=D[s^3+3s^2+3s+1], para achar (A+D)s^3 + (6A+B+3D)s^2 + (9A+5B+C+3D)s + (4A+4B+4C+D) = 1 e A + D = 0, 6A + B + 3D = 0, 9A + 5B + C + 3D = 0, 4A + 4B + 4C + D = 1 .
Escrevendo
somamos tudo e igualamos aos coeficientes do polinômio constante :
Como o lado direito é , temos o sistema
Substituindo e :
  • Da 1ª equação: .
  • Da 2ª:

Passo 4

Já temos
A=tfrac127, B=-tfrac19, C=tfrac13, D=-tfrac127
Então
G(s) = 1/27s+1 ;+; -1/9(s+1)^2 ;+; 1/3(s+1)^3 ;+;-1/27s+4
Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo usando
:
  • vira .
  • vira .
  • vira
  • vira

Resposta

g(t) = e^-tl(tfrac127 - tfract9 + tfract^26r) ;-;tfrac127,e^-4t

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