Desenvolva o modelo matemático linearizado do seguinte CSTR com refrigeração.
A longrightarrow B (Cinética de primeira ordem) é
Dados:
  • F=4 m^3 / h
  • Ti=350 K
  • CAi=2 g / mol
  • V=4 m^3
  • U=800 W / m^2 K
  • At=20 m^2
  • rho=1000 kg / m^3
  • Tci=273 K
  • Cp=4180 J / kgK
  • E=83140 kJ / mol
  • k0=1,2
  • De
  • k=k0 e^-ER T

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que a gente tem um CSTR onde A → B (cinética de primeira ordem) e que ele é refrigerado por uma jaqueta. Os dados (F, V, U, etc.) servem pra montar as equações de balanço de massa e energia e depois fazer a linearização em torno de um ponto de operação . O conteúdo aqui é:
  1. montar as equações dinâmicas não lineares (mass balance e energy balance);
  2. achar o ponto de operação (resolvendo as equações em regime permanente);
  3. linearizar via derivadas parciais (Jacobian) para obter .

Passo 2

Primeiro, escrevemos as equações não lineares. Definindo as variáveis de estado
x1 = CA(t), x2 = T(t)
e as entradas
u1 = CA!i(t), u2 = Ti(t), u3 = Tc!i(t),
temos:
  1. Balanço de massa em V,dCAdt =Fl(CA!i-CAr);-;V,k(T),CA, :
V,rho,Cp,dTdt =F,rho,Cp,(Ti-T) ;-;De
onde .
  1. Balanço de energia:

Passo 3

Agora, achamos o ponto de operação 0=FV(CA!i^*-CA^*)-k(T^*),CA^*, e as entradas constantes 0=FV(Ti^*-T^*)-De resolvendo
Essas duas equações podem ser resolvidas numericamente (ex.: em Matlab) para obter e .

Passo 4

Para linearizar, definimos as variações
x1'=CA - CA^*, x2'=T - T^*,
u1'=CA!i-CA!i^*, u2'=Ti - Ti^*, u3'=Tc!i-Tc!i^*
E calculamos as derivadas parciais (Jacobian) das RHS das eqs. de estado em relação a k^* = k(T^*) = k0,e^-E/(R,T^*), alpha = ER,(T^*)^2, e a11=-FV-k^*, . Chamando
a12=-CA^*,k^*,alpha,
temos:
∂(dCA/dt)/∂CA:
b11=FV,
∂(dCA/dt)/∂T:
a21=-De
∂(dCA/dt)/∂ a22=-FV-U,AtV,rho Cp ;-;De:
b21=0, b22=FV, b23=U,AtV,rho Cp
as outras entradas em dCA/dt são zero.
Para dT/dt:

Passo 5

Finalmente, o modelo linearizado fica no formato
[
dot x1'[3pt]dot x2' = underbrace a11&a12 a21&a22 A x1'x2' + underbrace b11&0 &0 0 &b22&b23 B u1'u2'u3'

\underbrace{ }{A}

+
\underbrace{ }
{B}
.
]

Resposta

O modelo linearizado em torno de boxed dot x = A,x + B,u é
A= -tfracFV-k^*& -CA^*,k^*,tfracER(T^*)^2[6pt] -tfracDe
com
B= tfracFV&0&0[4pt] 0&tfracFV&tfracU,AtV,rho Cp ,
onde .

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