Desenvolva o modelo matemático linearizado do seguinte CSTR com refrigeração.
Dados:
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz que a gente tem um CSTR onde A → B (cinética de primeira ordem) e que ele é refrigerado por uma jaqueta. Os dados (F, V, U, etc.) servem pra montar as equações de balanço de massa e energia e depois fazer a linearização em torno de um ponto de operação . O conteúdo aqui é:
montar as equações dinâmicas não lineares (mass balance e energy balance);
achar o ponto de operação (resolvendo as equações em regime permanente);
linearizar via derivadas parciais (Jacobian) para obter .
Passo 2
Primeiro, escrevemos as equações não lineares. Definindo as variáveis de estado
e as entradas
temos:
Balanço de massa em :
onde .
Balanço de energia:
Passo 3
Agora, achamos o ponto de operação e as entradas constantes resolvendo
Essas duas equações podem ser resolvidas numericamente (ex.: em Matlab) para obter e .
Passo 4
Para linearizar, definimos as variações
E calculamos as derivadas parciais (Jacobian) das RHS das eqs. de estado em relação a e . Chamando
temos:
∂(dCA/dt)/∂CA:
∂(dCA/dt)/∂T:
∂(dCA/dt)/∂:
as outras entradas em dCA/dt são zero.
Para dT/dt:
Passo 5
Finalmente, o modelo linearizado fica no formato
[
\underbrace{}{A}
+
\underbrace{}{B} .
]
Resposta
O modelo linearizado em torno de boxed dot x = A,x + B,u é