Dada a sequência (an) definida por an=tg(2 pi n^2-2 e5 pi n+8 n^2), qual é o valor de lim n infty an ?
A A sequência diverge oscilando.
B Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
C A sequência diverge para infty.
A sequência converge para 1 .
E A sequência diverge para -infty.

Passo 1

O enunciado define a sequência an=tan!l(2pi n^2-2e5pi n+8n^2r). O conteúdo é limite de sequência e uso de função contínua (tangente). Vamos precisar calcular o limite do argumento e depois aplicar a continuidade da tan.

Passo 2

Para achar limntoinfty2pi n^2-2e5pi n+8n^2, fatoramos n^2 no numerador e denominador:
2pi n^2-2e5pi n+8n^2 =n^2l(2pi-2e/n^2r)n^2l(8+5pi/nr) =2pi-2e/n^28+5pi/n
À medida que ntoinfty, os termos e/n^2 e pi/n vão a zero, então o quociente tende a 2pi/8=pi/4.

Passo 3

Como tan(x) é contínua em x=pi/4 (não há descontinuidade ali), vale que
limntoinftyan =limntoinftytanl(2pi n^2-2e5pi n+8n^2r) =tanl(limntoinfty2pi n^2-2e5pi n+8n^2r) =tanl(pi/4r)

Resposta

A sequência converge para 1.

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