Um indivíduo é encontrado morto em seu escritório pela secretária que liga imediatamente para a polícia. Quando a polícia chega, 2 horas depois da chamada, examina o cadáver. Uma hora depois o detetive prende a secretária. Explique o motivo.

Dados adicionais:

  • Temperatura do ambiente: 20^circ C;
  • Temperatura do corpo na hora que a polícia chega: 35^circ C;
  • Temperatura do corpo uma hora depois: 34,2^circ C;
  • Lei do Resfriamento: A taxa de variação da temperatura de um corpo (sem fonte interna) é proporcional à diferença entre sua temperatura e a temperatura do meio ambiente.

Passo 1

O enunciado apresenta um homicídio em que a secretária diz ter achado a vítima morta e ligado imediatamente para a polícia. Dois dados de temperatura do corpo são dados (35 °C na chegada da polícia e 34,2 °C uma hora depois) e o ambiente está a 20 °C. Vamos usar a Lei do Resfriamento de Newton para estimar o tempo de morte e comparar com o horário da ligação.

Passo 2

A Lei do Resfriamento de Newton diz que a taxa de variação da temperatura de um corpo é dada por dTdt=-kl(T-Tambr). A solução dessa equação é T(t)=Tamb+(T0-Tamb)e^-kt,onde T0 é a temperatura inicial do corpo (37 °C no instante da morte) e Tamb=20,^circC.

Passo 3

Usando as medições: na chegada (marcamos t=0) temos T(0)=35,^circC e, uma hora depois, T(1)=34,2,^circC. Logo,
$$34{,}2=20+(35-20)e{-k\cdot1}\quad\Longrightarrow\quad15e{-k}=14{,}2\quad\Longrightarrow\quad e^{-k}=0{,}946666\quad\Longrightarrow\quad k=-\ln(0{,}946666)\approx0{,}055,\mathrm{h}^{-1}.
$$

Passo 4

Para estimar o tempo t0 desde a morte até a chegada da polícia, usamos T(t0)=35,^circC com cond. inicial T0=37,^circC:
$$35=20+(37-20)e^{-k t_0}\quad\Longrightarrow\quad15=17e^{-0{,}055 t_0}\quad\Longrightarrow\quad e^{-0{,}055 t_0}=0{,}88235\quad\Longrightarrow\quad t_0=-\frac{1}{0{,}055}\ln(0{,}88235)\approx2{,}28,\mathrm{h}.
$$

Passo 5

A polícia chegou 2 horas após a ligação da secretária. Mas o cálculo mostra que a morte ocorreu cerca de 2,28 horas antes da chegada, ou seja, aproximadamente 0,28
h (≈16 min) antes da ligação. Isso contradiz a afirmação de que ela ligou imediatamente ao encontrar o corpo. Por isso o detetive a prendeu.

Resposta

O delegado constatou que, pela Lei do Resfriamento de Newton, a vítima já estava morta cerca de 16 minutos antes da suposta ‘chamada imediata’, o que prova que a secretária mentiu e levanta sua culpa no crime.

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