Defina conjunto denso e mostre que e são densos em . Conclua que e .
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício pede: definir o que é um conjunto denso e mostrar que os números racionais (Q) e os números irracionais (R - Q) são densos nos números reais (R). Por fim, precisamos concluir que o fechamento dos racionais é todo o conjunto dos reais (Q = R).
Para resolver isso, vamos precisar entender a definição de conjunto denso e aplicar propriedades dos números racionais e irracionais na reta real.
Passo 2
Primeiro, vamos definir conjunto denso. Um conjunto A é dito denso em um espaço X se, em qualquer intervalo aberto de X, sempre existe pelo menos um elemento de A. Formalmente, isso significa que o fechamento de A é igual a X, ou seja, A = X.
Passo 3
Agora, vamos provar que os números racionais (Q) são densos nos reais (R).
Para mostrar isso, precisamos provar que em qualquer intervalo aberto(a, b) com a < b, existe pelo menos um número racional.
Sabemos que entre dois números reais quaisquer, sempre podemos encontrar um número racional. Por exemplo, podemos dividir o intervalo repetidamente ou usar frações simples para localizar um racional dentro de qualquer intervalo dado.
Portanto, Q é denso em R.
Passo 4
Em seguida, vamos mostrar que os números irracionais (R - Q) são densos nos reais (R).
Analogamente aos racionais, precisamos provar que em qualquer intervalo aberto(a, b), existe pelo menos um número irracional.
Sabemos que os irracionais também são infinitos e que, entre dois números reais quaisquer, sempre podemos encontrar um irracional. Por exemplo, usando métodos de construção ou propriedades de números irracionais como raiz2, podemos garantir a presença de um irracional em qualquer intervalo.
Portanto, R - Q é denso em R.
Passo 5
Finalmente, vamos concluir que o fechamento dos racionais é todo o conjunto dos reais (Q = R).
Isso acontece porque, como mostramos que Q é denso em R, todo ponto real pode ser aproximado arbitrariamente por racionais. Assim, o fechamento de Q inclui todos os reais.