Mostre que:
Se X é finito, então X^prime=emptyset.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que está na área de Topologia. O enunciado diz: “Mostre que: Se $ X $ é finito, então $ X’ = \emptyset $.” Basicamente, precisamos mostrar que se o conjunto $ X $ tem um número finito de elementos, então o conjunto de pontos acumulados ou pontos limitantes de $ X $ é vazio. Para isso, vamos precisar entender o que são pontos acumulados e como eles se comportam em conjuntos finitos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um ponto acumulado. Um ponto $ x $ em um espaço topológico $ X $ é chamado de ponto acumulado de $ X $ se toda vizinhança de $ x $ contém pelo menos um ponto de $ X $ diferente de $ x $. Ou seja, não dá pra isolar completamente $ x $ usando as vizinhanças disponíveis no espaço.

Passo 3

Agora, vamos pensar em um conjunto $ X $ que é finito, ou seja, tem um número limitado de elementos, digamos $ n $ pontos. Em topologia, especialmente em espaços como $ \mathbb{R} $, podemos considerar que cada ponto em $ X $ pode ser “separado” dos outros por pequenas vizinhanças.

Passo 4

Como $ X $ é finito, para cada ponto $ x \in X $, podemos encontrar uma vizinhança $ U_x $ que contém apenas $ x $ e nenhum outro ponto de $ X $. Isso significa que não há outros pontos de $ X $ arbitrariamente próximos a $ x $. Portanto, $ x $ não pode ser um ponto acumulado, já que existe uma vizinhança de $ x $ que não contém nenhum outro ponto de $ X $.

Passo 5

Dado que nenhum dos pontos de $ X $ é um ponto acumulado, concluímos que o conjunto de todos os pontos acumulados de $ X $, que é $ X’ $, não contém nenhum elemento. Ou seja, $ X’ $ é o conjunto vazio.

Resposta

Portanto, se $ X $ é finito, então $ X’ = \emptyset $.

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