Resolva as seguintes equações:
4(x+1)^12-5(x+1)^32+(x+1)^52=0

Passo 1

A equação a resolver é a seguinte, que envolve radicais de índices racionais e pede soluções para x:
4(x+1)^12 - 5(x+1)^32 + (x+1)^52 = 0
O conteúdo está em equações com potências fracionárias e vamos precisar usar fatoração em comum e uma substituição do tipo t = (x+1)^tfrac12.

Passo 2

Antes de tudo, observamos que para as potências estarem bem definidas precisamos de x+1>=0, ou seja, x>=-1.
Em seguida, fatoramos o menor expoente, que é (x+1)^tfrac12:
(x+1)^tfrac12l[4 - 5(x+1) + (x+1)^2r] = 0

Passo 3

Fazendo a substituição t = (x+1)^tfrac12, com t>=0, o fator externo vira t e o colchete se torna um polinômio em t^2:
tl[4 - 5t^2 + t^4r] = 0

Passo 4

O polinômio no colchete é
t^4 - 5t^2 + 4 = 0
que é uma equação quadrática em u = t^2:
u^2 - 5u + 4 = 0
Suas raízes são
u = 1 ou nu = 4

Passo 5

Voltando a t, temos os casos:
  • t = 0 pela fatoração inicial;
  • t^2 = 1 t = 1 (descartamos t = -1 pois t>=0);
  • t^2 = 4 t = 2.
Assim, as soluções para t são 0,1,2.

Passo 6

Como t = raizx+1, temos x+1 = t^2, logo:
  • Para t=0: x+1=0 x=-1.
  • Para t=1: x+1=1 x=0.
  • Para t=2: x+1=4 x=3.
Concluímos que as soluções da equação original são os três valores de x obtidos.

Passo 7

Fizemos a verificação implícita de domínio e não há raízes extranas além dessas.

Resposta

x = -1, 0, 3

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