Dada as seqüências abaixo: ii) (xn) n in N dada por: x1>raiza, xn+1=12(xn axn). onde: a>0. Mostre que: ii) (xn) n in N é limitada superiormente ou inferiormente.

Passo 1

A sequência é definida por
xn+1=12l(xn+axnr), x1>raiza, a>0
O conteúdo é sucessão de Newton para aproximar raiza; queremos mostrar que ela fica sempre acima de raiza, isto é, é limitada inferiormente.

Passo 2

Suponha que xn>raiza. Vamos calcular
xn+1-raiza=12l(xn+axnr)-raiza
Colocando no mesmo denominador obtemos
xn+1-raiza=xn^2-2xnraiza+a2xn=(xn-raiza)^22xn
Como xn>raiza>0, o numerador e o denominador são positivos, logo xn+1-raiza>0, ou seja, xn+1>raiza.

Passo 3

A base da indução é x1>raiza por hipótese. Como o passo indutivo mostra que de xn>raiza segue xn+1>raiza, por indução temos xn>raiza para todo n. Portanto a sequência é limitada inferiormente por raiza.

Resposta

A sequência (xn) é limitada inferiormente por raiza.

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