Dada as seqüências abaixo: ii)
dada por:
. onde:
. Mostre que: ii)
é limitada superiormente ou inferiormente.
Passo 1
A sequência é definida por
O conteúdo é sucessão de Newton para aproximar
; queremos mostrar que ela fica sempre acima de
, isto é, é limitada inferiormente.
Passo 2
Suponha que
. Vamos calcular
Colocando no mesmo denominador obtemos
Como
, o numerador e o denominador são positivos, logo
, ou seja,
.
Passo 3
A base da indução é
por hipótese. Como o passo indutivo mostra que de
segue
, por indução temos
para todo
. Portanto a sequência é limitada inferiormente por
.
Resposta
A sequência
é limitada inferiormente por
.