Encontre f^prime(x) para o seguinte caso:
f(x)=cos (x^2)x^4+3

Passo 1

O exercício pede para encontrar a derivada de
f(x)=cosl(x^2r)x^4+3
O conteúdo que vamos usar é derivação, aplicando a regra do quociente e a regra da cadeia.

Passo 2

Definimos as funções
u(x)=cosl(x^2r), v(x)=x^4+3
Para derivar u(x), usamos a regra da cadeia: a derivada de cos(t) é -sin(t) vezes a derivada de t=x^2, que é 2x. Logo
u'(x)=-2xsinl(x^2r)
Para v(x), aplicamos a regra de potência: a derivada de x^4 é 4x^3 e a de constante é zero, logo
v'(x)=4x^3

Passo 3

A regra do quociente diz que
f'(x)=u'(x)v(x)-u(x)v'(x)l(v(x)r)^2

Passo 4

Substituindo u, u', v, v' na fórmula do quociente temos
f'(x)=l(-2xsin(x^2)r),(x^4+3)-l(cos(x^2)r),(4x^3)(x^4+3)^2

Passo 5

Para simplificar, fatoramos -2x) no numerador:
f'(x)=-2xl[(x^4+3)sin(x^2)+2x^2cos(x^2)r](x^4+3)^2

Resposta

f'(x)=-2xl[(x^4+3)sin(x^2)+2x^2cos(x^2)r](x^4+3)^2

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