Resolva o problema de valor inicial
y^prime prime+4 y^prime+y=35 e^-4 x, y(0)=-3, y^prime(0)=1

Passo 1

Vamos resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial:
y'' + 4 y' + y = 35 e^-4 x, y(0) = -3, y'(0) = 1
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa. Em seguida, usaremos as condições iniciais para determinar as constantes da solução.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
y'' + 4 y' + y = 0
Para isso, vamos encontrar a equação característica, que é obtida substituindo $ y = e^{r x} $:
y = e^r x

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática $ r^2 + 4 r + 1 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
r^2 + 4 r + 1 = 0
Então, as raízes são $ r_1 = -2 + \sqrt{3} $ e $ r_2 = -2 - \sqrt{3} $.

Passo 4

Com as raízes da equação característica, a solução geral da equação homogênea é:
yh(x) = C1 e^(-2 + raiz3) x + C2 e^(-2 - raiz3) x
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_p(x) $ para a equação completa:
yp(x)
Como o lado direito é uma função exponencial $ e^{-4x} $, tentamos uma solução particular da forma:
y'' + 4 y' + y = 35 e^-4 x
Onde $ A $ é uma constante a ser determinada.

Passo 6

Calculamos as derivadas de $ y_p(x) $:
yp(x)
yp'(x) = -4A e^-4x
Substituímos $ y_p $, $ y_p’ $ e $ y_p’’ $ na equação diferencial:
yp''(x) = 16A e^-4x
Simplificando:
yp
yp'

Passo 7

Igualando os coeficientes:
A = 35
Portanto, a solução particular é:
yp(x) = 35 e^-4x

Passo 8

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 e^(-2 + raiz3) x + C2 e^(-2 - raiz3) x + 35 e^-4x

Passo 9

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, calculamos $ y(0) $:
C1
Então:
C2 çã

Passo 10

Agora, calculamos a derivada $ y’(x) $:
y'(x)
Aplicamos a condição inicial $ y’(0) = 1 $:
y'(x) = C1 (-2 + raiz3) e^(-2 + raiz3) x + C2 (-2 - raiz3) e^(-2 - raiz3) x - 140 e^-4x
Então:
y'(0) = 1 çã

Passo 11

Resolvemos o sistema de equações:
  1. $ C_1 + C_2 = -38 $
  2. $ (-2 + \sqrt{3}) C_1 + (-2 - \sqrt{3}) C_2 = 141 $
Podemos expressar $ C_2 $ em termos de $ C_1 $ usando a Equação 1:
C1 + C2 = -38
Substituímos na Equação 2:
(-2 + raiz3) C1 + (-2 - raiz3) C2 = 141

Passo 12

Expandindo e simplificando:
(-2 + raiz3) C1 + 76 + 2 C1 + raiz3 cdot 38 + raiz3 C1 = 141
Agrupando os termos com $ C_1 $:
C1
Simplificando:
(-2 + raiz3 + 2 + raiz3) C1 + 76 + 38 raiz3 = 141

Passo 13

Isolamos $ C_1 $:
C1
2 raiz3 C1 = 141 - 76 - 38 raiz3
2 raiz3 C1 = 65 - 38 raiz3
Racionalizando o denominador:
C1 = 65 - 38 raiz32 raiz3 = 652 raiz3 - 38 raiz32 raiz3 = 652 raiz3 - 19

Passo 14

Agora, encontramos $ C_2 $ usando $ C_2 = -38 - C_1 $:
C2

Passo 15

Substituímos $ C_1 $ e $ C_2 $ na solução geral:
C1

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
y(x) = ( 65 raiz36 - 19 ) e^(-2 + raiz3) x + ( -19 - 65 raiz36 ) e^(-2 - raiz3) x + 35 e^-4x

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