Resolva o problema de valor inicial
Passo 1
Vamos resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial:
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa. Em seguida, usaremos as condições iniciais para determinar as constantes da solução.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, vamos encontrar a equação característica, que é obtida substituindo $ y = e^{r x} $:
Passo 3
Resolvendo a equação quadrática $ r^2 + 4 r + 1 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são $ r_1 = -2 + \sqrt{3} $ e $ r_2 = -2 - \sqrt{3} $.
Passo 4
Com as raízes da equação característica, a solução geral da equação homogênea é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_p(x) $ para a equação completa:
Como o lado direito é uma função exponencial $ e^{-4x} $, tentamos uma solução particular da forma:
Onde $ A $ é uma constante a ser determinada.
Passo 6
Calculamos as derivadas de $ y_p(x) $:
Substituímos $ y_p $, $ y_p’ $ e $ y_p’’ $ na equação diferencial:
Simplificando:
Passo 7
Igualando os coeficientes:
Portanto, a solução particular é:
Passo 8
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 9
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, calculamos $ y(0) $:
Então:
Passo 10
Agora, calculamos a derivada $ y’(x) $:
Aplicamos a condição inicial $ y’(0) = 1 $:
Então:
Passo 11
Resolvemos o sistema de equações:
- $ C_1 + C_2 = -38 $
- $ (-2 + \sqrt{3}) C_1 + (-2 - \sqrt{3}) C_2 = 141 $
Podemos expressar $ C_2 $ em termos de $ C_1 $ usando a Equação 1:
Substituímos na Equação 2:
Passo 12
Expandindo e simplificando:
Agrupando os termos com $ C_1 $:
Simplificando:
Passo 13
Isolamos $ C_1 $:
Racionalizando o denominador:
Passo 14
Agora, encontramos $ C_2 $ usando $ C_2 = -38 - C_1 $:
Passo 15
Substituímos $ C_1 $ e $ C_2 $ na solução geral:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: