Dada a série
; sabendo que se trata de Série Geométrica; determine o intervalo de convergência e sua função:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma série geométrica que é assim:
A matéria envolvida aqui é Séries Geométricas. O que a gente precisa descobrir é para quais valores de $ x $ essa série converge (intervalo de convergência) e qual é a função que representa a soma dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral:
Aqui, $ a $ é o primeiro termo e $ r $ é a razão comum entre os termos. Para que a série converja (ou seja, tenha uma soma finita), precisamos que o valor absoluto da razão $ |r| $ seja menor que 1.
No nosso caso, comparando com a forma geral:
- O primeiro termo $ a = 1 $
- A razão $ r = \frac{1}{2x - 1} $
Passo 3
Vamos aplicar a condição de convergência. Precisamos que:
Isso significa que o valor absoluto de $ \frac{1}{2x - 1} $ deve ser menor que 1 para a série convergir.
Passo 4
Resolvendo a desigualdade:
Isso implica que:
Porque quando tiramos o valor absoluto no denominador, a desigualdade se inverte.
Passo 5
Agora, vamos resolver $ |2x - 1| > 1 $. Isso se divide em duas situações:
- $ 2x - 1 > 1 $
- $ 2x - 1 < -1 $
Caso 1:
Caso 2:
Passo 6
Então, o intervalo de convergência é quando $ x > 1 $ ou $ x < 0 $.
Passo 7
Agora, vamos encontrar a função que representa a soma dessa série. A fórmula da soma de uma série geométrica infinita é:
Onde $ a = 1 $ e $ r = \frac{1}{2x - 1} $.
Substituindo:
Resposta
O intervalo de convergência é $ x < 0 $ ou $ x > 1 $, e a função que representa a soma da série é: