Dada a série 1+1 /(2 x-1)+1 /(2 x-1)^2+1 /(2 x-1)^3+ldots+1 /(2 x-1)^n; sabendo que se trata de Série Geométrica; determine o intervalo de convergência e sua função:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma série geométrica que é assim:
1 + 12x-1 + 1(2x-1)^2 + 1(2x-1)^3 + ldots + 1(2x-1)^n
A matéria envolvida aqui é Séries Geométricas. O que a gente precisa descobrir é para quais valores de $ x $ essa série converge (intervalo de convergência) e qual é a função que representa a soma dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral:
a + ar + ar^2 + ar^3 + ldots
Aqui, $ a $ é o primeiro termo e $ r $ é a razão comum entre os termos. Para que a série converja (ou seja, tenha uma soma finita), precisamos que o valor absoluto da razão $ |r| $ seja menor que 1.
No nosso caso, comparando com a forma geral:
  • O primeiro termo $ a = 1 $
  • A razão $ r = \frac{1}{2x - 1} $

Passo 3

Vamos aplicar a condição de convergência. Precisamos que:
| 12x - 1 | < 1
Isso significa que o valor absoluto de $ \frac{1}{2x - 1} $ deve ser menor que 1 para a série convergir.

Passo 4

Resolvendo a desigualdade:
| 12x - 1 | < 1
Isso implica que:
|2x - 1| > 1
Porque quando tiramos o valor absoluto no denominador, a desigualdade se inverte.

Passo 5

Agora, vamos resolver $ |2x - 1| > 1 $. Isso se divide em duas situações:
  1. $ 2x - 1 > 1 $
  2. $ 2x - 1 < -1 $
Caso 1:
|2x - 1| > 1
2x - 1 > 1
2x - 1 < -1
Caso 2:
2x - 1 > 1
2x > 2
x > 1

Passo 6

Então, o intervalo de convergência é quando $ x > 1 $ ou $ x < 0 $.

Passo 7

Agora, vamos encontrar a função que representa a soma dessa série. A fórmula da soma de uma série geométrica infinita é:
S = a1 - r
Onde $ a = 1 $ e $ r = \frac{1}{2x - 1} $.
Substituindo:
a = 1
r = 12x - 1
S = 11 - 12x - 1
S = 12x - 1 - 12x - 1

Resposta

O intervalo de convergência é $ x < 0 $ ou $ x > 1 $, e a função que representa a soma da série é:
x < 0

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