Determinar o raio e o intervalo de Convergência da seguinte Série de Potências:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o raio e o intervalo de convergência dessa série de potências:
Estamos lidando com séries de potências, que são somas infinitas envolvendo termos com potências de . Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar o raio de convergência e o intervalo onde a série realmente converge.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a série que temos:
Essa série é bem conhecida: ela é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral:
onde é a razão comum entre os termos consecutivos.
Passo 3
Sabendo que estamos lidando com uma série geométrica, precisamos lembrar das condições de convergência dessa série. Uma série geométrica converge se e somente se o valor absoluto da razão comum for menor que 1:
Caso contrário, a série diverge.
Passo 4
Agora, vamos identificar qual é a nossa na série dada:
Aplicando a condição de convergência:
Vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de x que fazem a série convergir.
Passo 5
Resolvendo a desigualdade:
| x - 13 | < 1
Essa desigualdade significa que o valor dentro do valor absoluto deve estar entre -1 e 1:
-1 < x - 13 < 1
Multiplicando todos os lados por 3 para eliminar o denominador:
-3 < x - 1 < 3
Agora, somando 1 em todas as partes da desigualdade:
-2 < x < 4
Então, o intervalo de convergência é de -2 a 4.
Passo 6
O raio de convergência é a distância do centro do intervalo de convergência até qualquer uma das extremidades. Aqui, o centro é 1 (porque a série está em torno de x = 1).
Calculando o raio:
R = 4 - 1 = 3 ou R = 1 - (-2) = 3
Então, o raio de convergência é 3.
Resposta
O raio de convergência é $ R = 3 $ e o intervalo de convergência é $ -2 < x < 4 $.