Verificar se a integral de 1 até infinito de f(x)=x /(x^2+1) converge.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é a tarefa de verificar se a integral de 1 até o infinito da função f(x) = xx^2+1 converge. Isso está dentro da matéria de Cálculo, mais especificamente, sobre integrais impróprias e testes de convergência. Para resolver, vamos precisar entender como calcular integrais definidas até o infinito e aplicar um teste que nos ajude a determinar se a integral tem um valor finito.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral de forma mais clara:
integral1^infty xx^2+1 , dx
Como o limite superior é infinito, isso é uma integral imprópria.

Passo 3

Para avaliar essa integral, podemos usar a substituição u = x^2 + 1. Vamos fazer isso passo a passo:
u = x^2 + 1 du = 2x , dx du2 = x , dx

Passo 4

Agora, substituímos na integral:
integral xx^2+1 , dx = integral 1u cdot du2 = 12 integral 1u , du

Passo 5

A integral de 1u em relação a u é o logaritmo natural:
12 ln|u| + C = 12 ln(x^2 + 1) + C

Passo 6

Agora, voltamos aos limites originais da integral:
limb to infty [ 12 ln(x^2 + 1) ]1^b = limb to infty ( 12 ln(b^2+1) - 12 ln(2) )

Passo 7

Analisando o limite:
limb to infty 12 ln(b^2+1) = infty
Isso significa que a integral diverge para infinito.

Resposta

A integral de 1 até infinito de f(x) = xx^2+1 não converge; ela diverge para infinito.

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