Verificar se a integral de 1 até infinito de
converge.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é a tarefa de verificar se a integral de
até o infinito da função
converge. Isso está dentro da matéria de Cálculo, mais especificamente, sobre integrais impróprias e testes de convergência. Para resolver, vamos precisar entender como calcular integrais definidas até o infinito e aplicar um teste que nos ajude a determinar se a integral tem um valor finito.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a integral de forma mais clara:
Como o limite superior é infinito, isso é uma integral imprópria.
Passo 3
Para avaliar essa integral, podemos usar a substituição
. Vamos fazer isso passo a passo:
Passo 4
Agora, substituímos na integral:
Passo 5
A integral de
em relação a
é o logaritmo natural:
Passo 6
Agora, voltamos aos limites originais da integral:
Passo 7
Analisando o limite:
Isso significa que a integral diverge para infinito.
Resposta
A integral de
até infinito de
não converge; ela diverge para infinito.