Dada a série
, considere
e
, a parte positiva e a parte negativa de
. Prove que se
é condicionalmente convergente, então deve-se ter
e
.
43) Mostre que a série
converge absolutamente qualquer que seja
.
44) Já vimos que a série
é condicionalmente convergente.
Mostre que esta série não é comutativamente convergente.
43) Mostre que a série
44) Já vimos que a série
Passo 1
O enunciado tem três partes ligadas a séries numéricas:
- Provar que, se
converge condicionalmente, então as partes positivas e negativas
e divergem para , onde
- Mostrar que a série
converge absolutamente para todo
.
3. Mostrar que a série alternada
3. Mostrar que a série alternada
não é comutativamente convergente (isto é, existe permutação dos termos que altera o valor do limite).
Passo 2
Note que, para todo
, vale a identidade
Se
converge condicionalmente, então
converge mas
diverge.
Passo 3
Suponha, por absurdo, que
converja.
Nesse caso teríamos
Nesse caso teríamos
Como
, a convergência de
implicaria a de
, ou seja, absoluta, o que contradiz a hipótese de convergência condicional. Logo
Passo 4
Agora suponha que
converge.
Seja . As somas parciais satisfazem
Seja
Como
converge,
.
Então
Então
isto é,
também converge, o que volta a contradizer a parte anterior. Portanto
Passo 5
Para a série
, aplique o Teste da Razão. Seja
Calcule
Como
, a série
converge, ou seja,
converge absolutamente para todo
.
Passo 6
Uma série é comutativamente convergente se toda permutação dos seus termos converge ao mesmo limite. Pelo Teorema de Riemann sobre rearranjos, qualquer série que converge apenas condicionalmente admite permutações que dão soma diferente (ou até divergência). Como a série alternada
é condicionalmente convergente (não converge absolutamente), ela não pode ser comutativamente convergente: existem rearranjos que produzem qualquer valor real.
Resposta
- Se
converge condicionalmente, então
e . - A série
converge absolutamente para todo . - A série alternada
não é comutativamente convergente.