Dada a série \sum a_{n}, considere p_{n}:=\max \left\{a_{n}, 0\right\} e q_{n}:=\max \left\{-a_{n}, 0\right\}, a parte positiva e a parte negativa de a_{n}. Prove que se \sum a_{n} é condicionalmente convergente, então deve-se ter \sum p_{n}=+\infty e \sum q_{n}=+\infty.
43) Mostre que a série \sum \frac{a^{n}}{n!} converge absolutamente qualquer que seja a \in \mathbb{R}.
44) Já vimos que a série \sum(-1)^{n+1} \frac{1}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots é condicionalmente convergente.
Mostre que esta série não é comutativamente convergente.

Passo 1

O enunciado tem três partes ligadas a séries numéricas:
  1. Provar que, se \sum a_{n} converge condicionalmente, então as partes positivas e negativas
    \sum p_{n} e \sum q_{n} divergem para +\infty, onde
p_{n} = \max\{a_{n},0\},\quad q_{n} = \max\{-a_{n},0\}.
  1. Mostrar que a série
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a^{n}}{n!}
converge absolutamente para todo a\in\mathbb{R}.
3. Mostrar que a série alternada
1 - \tfrac12 + \tfrac13 - \tfrac14 + \cdots
não é comutativamente convergente (isto é, existe permutação dos termos que altera o valor do limite).

Passo 2

Note que, para todo n, vale a identidade
|a_{n}| = p_{n} + q_{n}.
Se \sum a_{n} converge condicionalmente, então \sum a_{n} converge mas \sum |a_{n}| diverge.

Passo 3

Suponha, por absurdo, que \sum_{n=1}^{\infty} p_{n} converja.
Nesse caso teríamos
\sum_{n=1}^{\infty}|a_{n}| \;=\;\sum_{n=1}^{\infty}(p_{n}+q_{n}) =\sum_{n=1}^{\infty}p_{n}+\sum_{n=1}^{\infty}q_{n}.
Como q_{n}\ge0, a convergência de \sum p_{n} implicaria a de \sum|a_{n}|, ou seja, absoluta, o que contradiz a hipótese de convergência condicional. Logo
\sum_{n=1}^{\infty}p_{n}=+\infty.

Passo 4

Agora suponha que \sum_{n=1}^{\infty}q_{n} converge.
Seja S=\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}. As somas parciais satisfazem
S_{N} = \sum_{n=1}^{N}a_{n} = \sum_{n=1}^{N}p_{n} \;-\;\sum_{n=1}^{N}q_{n}.
Como \sum q_{n} converge, \sum_{n=1}^{N}q_{n}\to Q<+\infty.
Então
\sum_{n=1}^{N}p_{n} = S_{N} + \sum_{n=1}^{N}q_{n} \;\longrightarrow\; S + Q,
isto é, \sum p_{n} também converge, o que volta a contradizer a parte anterior. Portanto
\sum_{n=1}^{\infty}q_{n}=+\infty.

Passo 5

Para a série \sum_{n=0}^{\infty}\frac{a^{n}}{n!}, aplique o Teste da Razão. Seja
b_{n} = \frac{|a|^{n}}{n!}.
Calcule
L = \lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_{n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{|a|^{n+1}/(n+1)!}{|a|^{n}/n!} = \lim_{n\to\infty}\frac{|a|}{n+1} = 0.
Como L<1, a série \sum b_{n} converge, ou seja, \sum a^{n}/n! converge absolutamente para todo a\in\mathbb{R}.

Passo 6

Uma série é comutativamente convergente se toda permutação dos seus termos converge ao mesmo limite. Pelo Teorema de Riemann sobre rearranjos, qualquer série que converge apenas condicionalmente admite permutações que dão soma diferente (ou até divergência). Como a série alternada
1-\tfrac12+\tfrac13-\tfrac14+\cdots
é condicionalmente convergente (não converge absolutamente), ela não pode ser comutativamente convergente: existem rearranjos que produzem qualquer valor real.

Resposta

  1. Se \sum a_{n} converge condicionalmente, então
    \displaystyle\sum p_{n}=+\infty e \displaystyle\sum q_{n}=+\infty.
  2. A série \sum_{n=0}^{\infty}\frac{a^{n}}{n!} converge absolutamente para todo a\in\mathbb{R}.
  3. A série alternada 1-\tfrac12+\tfrac13-\tfrac14+\cdots não é comutativamente convergente.

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