- Prove que se
e
converge, então
0.
Passo 1
O enunciado diz que
é uma sequência de números reais não negativos e não crescentes, ou seja,
e que a série
converge. Queremos provar que
O conteúdo usado será a convergência de séries e uma comparação de somas parciais em blocos de tamanho
.
Passo 2
Como
converge, os somatórios parciais
têm limite finito, digamos
. Logo o “remanescente” ou cauda
satisfaz
.
Passo 3
Observe o bloco de
termos de
que vai de
até
. Como
é não crescente, para todo
em
vale
Logo
Mas
Como
ao passo que
, segue que
Portanto a subsequência
satisfaz
e, em particular,
Passo 4
Para estender ao termo geral
, use a monotonicidade: dado
, escolha
tal que
Então, como
é não crescente,
Como já vimos em