1. Prove que se a_{1} \geq a_{2} \geq a_{3} \geq \cdots \operatorname{com} a_{j} \geq 0 \forall j \in \mathbb{N} e \sum a_{n} converge, então \lim _{n \rightarrow+\infty} n a_{n}= 0.

Passo 1

O enunciado diz que (a_n) é uma sequência de números reais não negativos e não crescentes, ou seja,
a_1 \ge a_2 \ge a_3 \ge \cdots \quad\text{e}\quad a_j \ge 0\\ \forall j,
e que a série
\sum_{n=1}^{\infty} a_n
converge. Queremos provar que
\lim_{n\to\infty} n\,a_n = 0.
O conteúdo usado será a convergência de séries e uma comparação de somas parciais em blocos de tamanho n.

Passo 2

Como \sum_{n=1}^\infty a_n converge, os somatórios parciais
S_n = \sum_{k=1}^n a_k
têm limite finito, digamos S = \lim_{n\to\infty} S_n. Logo o “remanescente” ou cauda
R_n = \sum_{k=n+1}^\infty a_k = S - S_n
satisfaz \lim_{n\to\infty} R_n = 0.

Passo 3

Observe o bloco de n termos de a_k que vai de k=n+1 até k=2n. Como (a_n) é não crescente, para todo k em \{n+1,\dots,2n\} vale
a_k \;\ge\; a_{2n}.
Logo
\sum_{k=n+1}^{2n} a_k \;\ge\; n\,a_{2n}.
Mas
\sum_{k=n+1}^{2n} a_k = S_{2n} - S_n = (S - S_n) - (S - S_{2n}) = R_n - R_{2n}.
Como R_n\to0 ao passo que R_{2n}\to0, segue que
n\,a_{2n} \le R_n - R_{2n} \;\longrightarrow\; 0.
Portanto a subsequência \bigl(2n\,a_{2n}\bigr) satisfaz \lim_{n\to\infty} 2n\,a_{2n}=0 e, em particular,
\lim_{n\to\infty} n\,a_{2n}=0.

Passo 4

Para estender ao termo geral n\,a_n, use a monotonicidade: dado m\in\mathbb{N}, escolha k tal que
2^k \le m < 2^{k+1}.
Então, como a_n é não crescente,
a_m \le a_{2^k} \quad\Longrightarrow\quad m\,a_m \le m\,a_{2^k} < 2^{k+1}\,a_{2^k} = 2\bigl(2^k\,a_{2^k}\bigr).
Como já vimos em

Passo 5

\lim_{m\to\infty} m\,a_m = 0.

Resposta

\lim_{n\to\infty} n\,a_n = 0.

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