Mostre que \sum \frac{1}{n^{r}} converge se r>1 e diverge se r<1.

Passo 1

O enunciado pede mostrar que a série
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^r}
converge se r>1 e diverge se r<1. O conteúdo envolvido é teste de convergência de séries de termos positivos. Vamos usar o critério da integral imprópria para funções decrescentes.

Passo 2

Critério da integral imprópria (para séries de termos positivos): se f\colon[1,\infty)\to\mathbb{R} é contínua, positiva e decrescente, então
\sum_{n=1}^\infty f(n)\quad\text{converge}\quad\Longleftrightarrow\quad\int_{1}^\infty f(x)\,dx\quad\text{converge}.
Aqui tomamos f(x)=x^{-r}.

Passo 3

Verificamos que, para r>0,
f(x)=x^{-r}>0, \qquad f'(x)=-r\,x^{-r-1}<0,
logo f é decrescente. Calculamos a integral imprópria para r\neq1:
\int_{1}^\infty x^{-r}\,dx = \lim_{N\to\infty}\int_{1}^{N}x^{-r}\,dx = \lim_{N\to\infty}\biggl[\frac{x^{-r+1}}{-r+1}\biggr]_{1}^{N} = \lim_{N\to\infty}\frac{N^{1-r}-1}{1-r}.
  • Se r>1, então 1-r<0 e N^{1-r}\to0, de modo que
\int_{1}^\infty x^{-r}\,dx = \frac{0-1}{1-r} = \frac{1}{r-1}
é finita (converge).
  • Se r<1, então 1-r>0 e N^{1-r}\to\infty, logo
\int_{1}^\infty x^{-r}\,dx = \infty
(diverge).

Passo 4

Pelo critério da integral, a série
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^r}
converge exatamente quando a integral convergente, isto é, quando r>1, e diverge quando r<1.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^r} converge se r>1 e diverge se r<1.

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