Mostre que
converge se
e diverge se
.
Passo 1
O enunciado pede mostrar que a série
converge se
e diverge se
. O conteúdo envolvido é teste de convergência de séries de termos positivos. Vamos usar o critério da integral imprópria para funções decrescentes.
Passo 2
Critério da integral imprópria (para séries de termos positivos): se
é contínua, positiva e decrescente, então
Aqui tomamos
.
Passo 3
Verificamos que, para
,
logo
é decrescente. Calculamos a integral imprópria para
:
- Se
, então e , de modo que
é finita (converge).
- Se
, então e , logo
(diverge).
Passo 4
Pelo critério da integral, a série
converge exatamente quando a integral convergente, isto é, quando
, e diverge quando
.
Resposta
A série
converge se
e diverge se
.