Dada a série
, determine:
a) Os seis primeiros termos da sequência de somas parciais:
e
;
b) O
-ésimo termo da sequência de somas parciais:
;
c) Mostre que a série diverge.
a) Os seis primeiros termos da sequência de somas parciais:
b) O
c) Mostre que a série diverge.
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede três coisas:
- Os seis primeiros termos da sequência de somas parciais:
. - O termo geral da sequência de somas parciais
(para genérico). - Mostrar que a série diverge.
Informações relevantes fornecidas: o
-ésimo termo da soma (o termo da série) é
. A sequência de somas parciais é definida por
Passo 2
Vamos primeiro calcular os seis primeiros termos da sequência
(isto é, os termos da série) para ver como somá-los:
Agora calculamos as somas parciais acumulando esses termos:
Perceba o padrão: as somas parciais estão alternando entre
e
.]
Passo 3
Agora achamos uma fórmula fechada para
. Note que
é a soma finita de uma progressão geométrica com razão
:
A soma finita de uma progressão geométrica com primeiro termo
e razão
é
Aqui
, logo
Verificação rápida do resultado para paridade:
- Se
é par então e . - Se
é ímpar então e .
Isto coincide com os valores calculados no Passo 2.
Passo 4
Mostrando que a série diverge. Vou dar duas maneiras simples e didáticas:
Método A — pela sequência de somas parciais:
A série converge somente se a sequência das somas parciais tiver limite quando
. Mas vimos que
alterna entre
e
:
A série converge somente se a sequência das somas parciais
Logo
não tem limite (não se aproxima de um único número), pois tem dois sub-limites distintos (
e
). Portanto a série não converge — diverge.
Método B — pela condição necessária para convergência de uma série:
Se converge, então necessariamente
quando
(prova curta:
e se
então
). Aqui
não tende a
; a sequência
oscila entre
e
. Como a condição necessária não é satisfeita, a série diverge.
Se
Qualquer um dos dois argumentos basta; os dois reforçam a conclusão.
Passo 5
Resumo final: calculamos explicitamente os primeiros termos e a fórmula geral
, e mostramos que a sequência de somas parciais não converge, portanto a série diverge.
Resposta
a)
b)
c) A série diverge.
b)
c) A série diverge.