Dada a série \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}, determine:
a) Os seis primeiros termos da sequência de somas parciais: S_{1}, S_{2}, S_{3}, S_{4}, S_{5} e S_{6};
b) O n-ésimo termo da sequência de somas parciais: S_{n};
c) Mostre que a série diverge.

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}
e pede três coisas:
  1. Os seis primeiros termos da sequência de somas parciais: S_{1},S_{2},S_{3},S_{4},S_{5},S_{6}.
  2. O termo geral da sequência de somas parciais S_{n} (para n genérico).
  3. Mostrar que a série diverge.
Informações relevantes fornecidas: o n-ésimo termo da soma (o termo da série) é a_{n}=(-1)^{n-1}. A sequência de somas parciais é definida por
S_{n}=\sum_{k=1}^{n}a_{k}=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}.

Passo 2

Vamos primeiro calcular os seis primeiros termos da sequência a_{n}=(-1)^{n-1} (isto é, os termos da série) para ver como somá-los:
\begin{aligned} a_{1}&=(-1)^{1-1}=(-1)^{0}=1,\\[4pt] a_{2}&=(-1)^{2-1}=(-1)^{1}=-1,\\[4pt] a_{3}&=(-1)^{3-1}=(-1)^{2}=1,\\[4pt] a_{4}&=(-1)^{4-1}=(-1)^{3}=-1,\\[4pt] a_{5}&=(-1)^{5-1}=(-1)^{4}=1,\\[4pt] a_{6}&=(-1)^{6-1}=(-1)^{5}=-1. \end{aligned}
Agora calculamos as somas parciais acumulando esses termos:
\begin{aligned} S_{1}&=a_{1}=1,\\[4pt] S_{2}&=a_{1}+a_{2}=1+(-1)=0,\\[4pt] S_{3}&=a_{1}+a_{2}+a_{3}=1-1+1=1,\\[4pt] S_{4}&=1-1+1-1=0,\\[4pt] S_{5}&=1-1+1-1+1=1,\\[4pt] S_{6}&=1-1+1-1+1-1=0. \end{aligned}
Perceba o padrão: as somas parciais estão alternando entre 1 e 0.]

Passo 3

Agora achamos uma fórmula fechada para S_{n}. Note que \{S_{n}\} é a soma finita de uma progressão geométrica com razão r=-1:
S_{n}=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}=\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{k}.
A soma finita de uma progressão geométrica com primeiro termo 1 e razão r é
\sum_{k=0}^{n-1}r^{k}=\frac{1-r^{n}}{1-r}\quad\text{para }r\neq 1.
Aqui r=-1, logo
S_{n}=\frac{1-(-1)^{n}}{1-(-1)}=\frac{1-(-1)^{n}}{2}.
Verificação rápida do resultado para paridade:
  • Se n é par então (-1)^{n}=1 e S_{n}=(1-1)/2=0.
  • Se n é ímpar então (-1)^{n}=-1 e S_{n}=(1-(-1))/2=1.
    Isto coincide com os valores calculados no Passo 2.

Passo 4

Mostrando que a série diverge. Vou dar duas maneiras simples e didáticas:
Método A — pela sequência de somas parciais:
A série converge somente se a sequência das somas parciais \{S_{n}\} tiver limite quando n\to\infty. Mas vimos que S_{n} alterna entre 1 e 0:
S_{1}=1,\\ S_{2}=0,\\ S_{3}=1,\\ S_{4}=0,\ldots
Logo \{S_{n}\} não tem limite (não se aproxima de um único número), pois tem dois sub-limites distintos ( \limsup S_{n}=1 e \liminf S_{n}=0). Portanto a série não converge — diverge.
Método B — pela condição necessária para convergência de uma série:
Se \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} converge, então necessariamente a_{n}\to 0 quando n\to\infty (prova curta: a_{n}=S_{n}-S_{n-1} e se S_{n}\to S então a_{n}\to S-S=0). Aqui a_{n}=(-1)^{n-1} não tende a 0; a sequência a_{n} oscila entre 1 e -1. Como a condição necessária não é satisfeita, a série diverge.
Qualquer um dos dois argumentos basta; os dois reforçam a conclusão.

Passo 5

Resumo final: calculamos explicitamente os primeiros termos e a fórmula geral \displaystyle S_{n}=\frac{1-(-1)^{n}}{2}, e mostramos que a sequência de somas parciais não converge, portanto a série diverge.

Resposta

a) S_{1}=1,\\ S_{2}=0,\\ S_{3}=1,\\ S_{4}=0,\\ S_{5}=1,\\ S_{6}=0
b) S_{n}=\dfrac{1-(-1)^{n}}{2}
c) A série diverge.

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