Em cada item abaixo, calcule g^{\prime}(x), utilizando as propriedades vistas em aula.
f(x)=x^{3}+x

Passo 1

O enunciado pede: calcular g^{\prime}(x) em cada item. As informações fornecidas no enunciado são apenas:
f(x)=x^{3}+x.
Não há definição explícita de nenhuma função g nos itens (ou os itens não foram enviados). Portanto, com os dados que você mandou não é possível calcular um valor específico de g^{\prime}(x) porque não sabemos qual é g.

Passo 2

Mesmo sem a definição de g, é útil calcular a derivada de f, porque muitas vezes os exercícios pedem derivadas de expressões que dependem de f. Vamos aprender e aplicar a regra básica usada aqui: a regra do poder e a linearidade da derivada. A regra do poder diz que, para um monômio \,x^{n}\,, a derivada é \,n x^{n-1}\,. A linearidade diz que a derivada de uma soma é a soma das derivadas e constantes saem da derivada. Aplicando isso a f:
f(x)=x^{3}+x.
Derivando termo a termo:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)=3x^{2},\qquad \frac{d}{dx}\bigl(x\bigr)=1.
Portanto:
f'(x)=3x^{2}+1.

Passo 3

Agora vou te mostrar as propriedades mais comuns que se usa em exercícios quando a questão pede g'(x) e g é dada em função de f. Eu explico cada propriedade com calma, e sempre mostrarei como usar f'(x)=3x^{2}+1.
Propriedade A — Se g(x)=f(x), então
g'(x)=f'(x)=3x^{2}+1.
Explicação: derivar a mesma função dá a mesma derivada.

Passo 4

Propriedade B — Regra da constante e linearidade. Se g(x)=a\,f(x)+b com a,b constantes, então
g'(x)=a\,f'(x)=a(3x^{2}+1).
Explicação: constantes saem da derivada e a derivada de uma soma é a soma das derivadas.
Exemplo rápido: se g(x)=2f(x)-5, então
g'(x)=2(3x^{2}+1)=6x^{2}+2.

Passo 5

Propriedade C — Regra da cadeia para composição simples. Se g(x)=f(kx) com k constante, então pela regra da cadeia:
g'(x)=k\,f'(kx).
Explicação da regra da cadeia (passo a passo): quando você tem uma função composta f(u(x)), a derivada é f'(u(x))\cdot u'(x). Aqui u(x)=kx tem derivada u'(x)=k.
Exemplo aplicando f'(t)=3t^{2}+1: se g(x)=f(2x)= (2x)^{3}+2x (observando que f(2x) explicitamente é (2x)^{3}+2x), então
g'(x)=2\bigl(3(2x)^{2}+1\bigr)=2\bigl(3\cdot 4x^{2}+1\bigr)=2(12x^{2}+1)=24x^{2}+2.
Observação: você também poderia primeiro expandir f(2x) e depois derivar termo a termo; os dois procedimentos coincidem.

Passo 6

Propriedade D — Potência de f. Se g(x)=\bigl(f(x)\bigr)^{n} com n inteiro positivo, então pela regra da cadeia combinada com a regra da potência:
g'(x)=n\bigl(f(x)\bigr)^{n-1}\,f'(x).
Explicação: primeiro trata-se como se a função externa fosse u^{n} (derivada n u^{n-1}) e depois multiplica-se pela derivada da função interna f(x).
Exemplo com n=2: se g(x)=\bigl(f(x)\bigr)^{2}=\bigl(x^{3}+x\bigr)^{2}, então
g'(x)=2\bigl(f(x)\bigr)\,f'(x)=2\bigl(x^{3}+x\bigr)\bigl(3x^{2}+1\bigr).
Se necessário, dá para multiplicar e simplificar, mas na prova essa forma fatorada costuma ser suficiente e mais limpa.

Passo 7

Propriedade E — Produto e quociente. Se g(x)=u(x)\,v(x), então a regra do produto dá
g'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Se g(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}, então a regra do quociente dá
g'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^{2}}.
Aplicação com u(x)=f(x) e v(x)=x^{2} (por exemplo): calcule u'(x)=3x^{2}+1 e v'(x)=2x e aplique as fórmulas acima.

Passo 8

Propriedade F — Composição geral. Se g(x)=h\bigl(f(x)\bigr) para alguma função h diferenciável, então pela regra da cadeia:
g'(x)=h'\bigl(f(x)\bigr)\,f'(x).
Explicação: trate f(x) como variável interna; primeiro derive h em relação à sua variável (avaliada em f(x)) e depois multiplique por f'(x).
Exemplo: se h(u)=\sin u e g(x)=\sin\bigl(f(x)\bigr)=\sin\bigl(x^{3}+x\bigr), então
g'(x)=\cos\bigl(f(x)\bigr)\,f'(x)=\cos\bigl(x^{3}+x\bigr)\,(3x^{2}+1).

Passo 9

Resumo prático para a prova (passos que eu faria rápido na hora): primeiro identifique a forma de g (é múltipla, composição, potência, produto, quociente etc.). Segundo, calcule f'(x)=3x^{2}+1 e aplique a regra correspondente (linearidade, cadeia, produto, quociente, potência). Se me der o enunciado com as definições de cada item de g, eu aplico imediatamente estas regras passo a passo e te mostro a conta completa.

Resposta

Não é possível determinar g'(x) porque a função g não foi definida no enunciado.

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