Determine se a sequência converge ou diverge; se convergir, ache o limite.
\{8 n+1\}_{n=1}^{\infty}

Passo 1

O enunciado dá a sequência \{8n+1\}_{n=1}^{\infty} e pede para determinar se a sequência converge ou diverge; se convergir, encontrar o limite.
Informações fornecidas: a fórmula geral do termo n-ésimo é \;a_n = 8n+1\; para n=1,2,3,\dots.

Passo 2

Antes de resolver, vamos lembrar o que significa convergir ou divergir (explicação didática).
Uma sequência \{a_n\} converge para um número real L quando, intuitivamente, os termos a_n se aproximam cada vez mais de L quando n cresce. Formalmente:
\text{(definição)}\quad \{a_n\}\to L\\ \text{quando, para todo }\varepsilon>0,\\ \exists N\\ \text{tal que}\\ n\ge N\Rightarrow |a_n-L|<\varepsilon.çã
Se não existe tal número real L que satisfaça essa definição, dizemos que a sequência diverge. Há um tipo de divergência importante: divergir para +\infty. Dizemos \lim_{n\to\infty} a_n = +\infty quando, para todo número real M, existe N tal que n\ge N\Rightarrow a_n>M. Ou seja, os termos ficam arbitrariamente grandes.

Passo 3

Agora vamos estudar propriedades da sequência \;a_n=8n+1\; que nos ajudam a decidir se ela converge. Primeiro calcule a diferença entre termos consecutivos para ver se a sequência é monotônica:
a_{n+1}-a_n = (8(n+1)+1)-(8n+1)=8.
Como 8>0, a sequência é estritamente crescente: cada termo é 8 unidades maior que o anterior.

Passo 4

Uma sequência estritamente crescente pode ainda convergir, mas só pode convergir se for limitada acima. Portanto é útil verificar se \{8n+1\} é limitada acima ou não. Vamos provar que ela não é limitada acima (ou seja, é ilimitada para cima), usando a ideia do passo 2 sobre divergência para +\infty.

Passo 5

Prova de que os termos ficam arbitrariamente grandes (prova formal de divergência para +\infty). Seja um número real qualquer M. Queremos um N tal que, para todo n\ge N, valha 8n+1>M. Basta escolher um N que satisfaça
N>\frac{M-1}{8}.
Por exemplo, podemos tomar N=\left\lfloor\frac{M-1}{8}\right\rfloor+1 (mas não precisamos do piso explicitamente; qualquer inteiro maior que \dfrac{M-1}{8} serve). Se n\ge N, então
8n+1 \ge 8N+1 > 8\cdot\frac{M-1}{8}+1 = M.
Isso mostra que, dado qualquer M, existe N tal que para todo n\ge N temos a_n=8n+1>M. Portanto os termos podem ser feitos maiores que qualquer limite M pré‑escolhido.

Passo 6

Conclusão da argumentação (sem repetir a resposta final formatada): a sequência é crescente e ilimitada acima, logo não converge para nenhum número real finito; na linguagem de limites, ela diverge para +\infty.

Resposta

A sequência diverge; \displaystyle \lim_{n\to\infty}(8n+1)=+\infty

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