Determine se a sequência converge ou diverge; se convergir, ache o limite.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede para determinar se a sequência converge ou diverge; se convergir, encontrar o limite.
Informações fornecidas: a fórmula geral do termo -ésimo é
para
.
Informações fornecidas: a fórmula geral do termo
Passo 2
Antes de resolver, vamos lembrar o que significa convergir ou divergir (explicação didática).
Uma sequência converge para um número real
quando, intuitivamente, os termos
se aproximam cada vez mais de
quando
cresce. Formalmente:
Uma sequência
Se não existe tal número real
que satisfaça essa definição, dizemos que a sequência diverge. Há um tipo de divergência importante: divergir para
. Dizemos
quando, para todo número real
, existe
tal que
. Ou seja, os termos ficam arbitrariamente grandes.
Passo 3
Agora vamos estudar propriedades da sequência
que nos ajudam a decidir se ela converge. Primeiro calcule a diferença entre termos consecutivos para ver se a sequência é monotônica:
Como
, a sequência é estritamente crescente: cada termo é 8 unidades maior que o anterior.
Passo 4
Uma sequência estritamente crescente pode ainda convergir, mas só pode convergir se for limitada acima. Portanto é útil verificar se
é limitada acima ou não. Vamos provar que ela não é limitada acima (ou seja, é ilimitada para cima), usando a ideia do passo 2 sobre divergência para
.
Passo 5
Prova de que os termos ficam arbitrariamente grandes (prova formal de divergência para
). Seja um número real qualquer
. Queremos um
tal que, para todo
, valha
. Basta escolher um
que satisfaça
Por exemplo, podemos tomar
(mas não precisamos do piso explicitamente; qualquer inteiro maior que
serve). Se
, então
Isso mostra que, dado qualquer
, existe
tal que para todo
temos
. Portanto os termos podem ser feitos maiores que qualquer limite
pré‑escolhido.
Passo 6
Conclusão da argumentação (sem repetir a resposta final formatada): a sequência é crescente e ilimitada acima, logo não converge para nenhum número real finito; na linguagem de limites, ela diverge para
.
Resposta
A sequência diverge;