Seja
tal que
, para quaisquer
com
.
(a) Calcule
, se existir.
(b) Mostre que se existir
, então
é diferenciável em
e
, para todo
.
(a) Calcule
(b) Mostre que se existir
Passo 1
O enunciado dá a função
satisfazendo, para quaisquer
,
e informa que
. As perguntas são:
(a) Calcular , se existir.
(b) Mostrar que, se existir , então
é diferenciável em todo
e que
(a) Calcular
(b) Mostrar que, se existir
Lista das informações relevantes: a igualdade funcional válida para todos
e a condição
. Não vou resolver nada aqui; apenas organizei o que foi dado e o que é pedido.
Passo 2
Primeiro passo técnico e importante: encontrar
. Coloco
na identidade funcional. Assim, para todo
,
Isto é,
Agora raciocinamos: existem valores de
com
, porque se
para todo
então em particular
, contradizendo
. Portanto existe algum
tal que
; para esse
a igualdade
implica
. Como a identidade vale para todo
, concluímos que
Esse é um passo básico: a condição
força
.
Passo 3
Agora escrevo a definição de derivada em
. Se
existe, por definição
Usando o resultado do Passo 2 (
), isso fica
ou seja, o que temos a calcular (quando a derivada existe) é exatamente esse limite. Aqui expliquei a definição: a derivada em um ponto é a inclinação do quociente incremental
quando
tende a zero.
Passo 4
Vou obter a expressão do quociente incremental em um ponto arbitrário
. Para
fixo e
,
Uso a identidade funcional
. Substituindo,
Esse passo é só fatorar
porque ele não depende de
(está fixo ao analisar o limite em
). É uma manipulação algébrica simples mas crucial: transformei o quociente incremental geral em
vezes o quociente incremental em
.
Passo 5
Agora uso hipótese: suponha que
existe, isto é, o limite
existe e é finito. Denote esse limite por
:
Como no Passo 4 temos para todo
podemos passar ao limite quando
. O fator
é constante em relação a
, logo
Isso mostra que o limite do quociente incremental em
existe para todo
(porque o limite à direita existe por hipótese) e é igual a
. Pelo significado da derivada, isso prova que
é diferenciável em todo
e que
Também observe: diferenciabilidade implica continuidade, então
é contínua em todo lugar; isso é coerente com a passagem do limite.
Passo 6
Resumo interpretativo (útil para prova): a relação do Passo 5 é uma equação diferencial simples
com condição inicial
. A solução dessa equação (se quisermos ir além) é
, mas para responder ao enunciado isso não era necessário — bastou mostrar existência da derivada e a fórmula do seu valor em qualquer ponto.
Resposta
(a)
(b)
para todo
; em particular,
é diferenciável em
.