Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} tal que f(x+h)=f(x) f(h), para quaisquer x, h \in \mathbb{R} com f(0) \neq 0.
(a) Calcule f^{\prime}(0), se existir.
(b) Mostre que se existir f^{\prime}(0), então f é diferenciável em \mathbb{R} e f^{\prime}(x)=f^{\prime}(0) f(x), para todo x \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} satisfazendo, para quaisquer x,h\in\mathbb{R},
f(x+h)=f(x)\,f(h),
e informa que f(0)\neq 0. As perguntas são:
(a) Calcular f^{\prime}(0), se existir.
(b) Mostrar que, se existir f^{\prime}(0), então f é diferenciável em todo \mathbb{R} e que
f^{\prime}(x)=f^{\prime}(0)\,f(x)\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Lista das informações relevantes: a igualdade funcional válida para todos x,h e a condição f(0)\neq 0. Não vou resolver nada aqui; apenas organizei o que foi dado e o que é pedido.

Passo 2

Primeiro passo técnico e importante: encontrar f(0). Coloco x=0 na identidade funcional. Assim, para todo h,
f(0+h)=f(0)\,f(h).
Isto é,
f(h)=f(0)\,f(h).
Agora raciocinamos: existem valores de h com f(h)\neq 0, porque se f(h)=0 para todo h então em particular f(0)=0, contradizendo f(0)\neq 0. Portanto existe algum h tal que f(h)\neq 0; para esse h a igualdade f(h)=f(0)\,f(h) implica 1=f(0). Como a identidade vale para todo h, concluímos que
f(0)=1.
Esse é um passo básico: a condição f(0)\neq 0 força f(0)=1.

Passo 3

Agora escrevo a definição de derivada em 0. Se f^{\prime}(0) existe, por definição
f^{\prime}(0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h)-f(0)}{h}.
Usando o resultado do Passo 2 ( f(0)=1), isso fica
f^{\prime}(0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h)-1}{h},
ou seja, o que temos a calcular (quando a derivada existe) é exatamente esse limite. Aqui expliquei a definição: a derivada em um ponto é a inclinação do quociente incremental (f(h)-f(0))/h quando h tende a zero.

Passo 4

Vou obter a expressão do quociente incremental em um ponto arbitrário x. Para x fixo e h\neq 0,
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Uso a identidade funcional f(x+h)=f(x)\,f(h). Substituindo,
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{f(x)\,f(h)-f(x)}{h}=f(x)\,\frac{f(h)-1}{h}.
Esse passo é só fatorar f(x) porque ele não depende de h (está fixo ao analisar o limite em h\to 0). É uma manipulação algébrica simples mas crucial: transformei o quociente incremental geral em f(x) vezes o quociente incremental em 0.

Passo 5

Agora uso hipótese: suponha que f^{\prime}(0) existe, isto é, o limite \lim_{h\to 0}\frac{f(h)-1}{h} existe e é finito. Denote esse limite por a:
a:=\lim_{h\to 0}\frac{f(h)-1}{h}=f^{\prime}(0).
Como no Passo 4 temos para todo x
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f(x)\,\frac{f(h)-1}{h},
podemos passar ao limite quando h\to 0. O fator f(x) é constante em relação a h, logo
\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f(x)\,\lim_{h\to 0}\frac{f(h)-1}{h}=f(x)\,a.
Isso mostra que o limite do quociente incremental em x existe para todo x (porque o limite à direita existe por hipótese) e é igual a f(x)\,a. Pelo significado da derivada, isso prova que f é diferenciável em todo \mathbb{R} e que
f^{\prime}(x)=a\,f(x)=f^{\prime}(0)\,f(x)\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Também observe: diferenciabilidade implica continuidade, então f é contínua em todo lugar; isso é coerente com a passagem do limite.

Passo 6

Resumo interpretativo (útil para prova): a relação do Passo 5 é uma equação diferencial simples
f^{\prime}(x)=a\,f(x),
com condição inicial f(0)=1. A solução dessa equação (se quisermos ir além) é f(x)=e^{a x}, mas para responder ao enunciado isso não era necessário — bastou mostrar existência da derivada e a fórmula do seu valor em qualquer ponto.

Resposta

(a) \displaystyle f^{\prime}(0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h)-1}{h}.
(b) \displaystyle f^{\prime}(x)=f^{\prime}(0)\,f(x) para todo x\in\mathbb{R}; em particular, f é diferenciável em \mathbb{R}.

Exercícios relacionados