Calcule o volume do sólido limitado pelos cilindros parabólicos y=2-x^2, y=x^2 e pelos planos z=0 e z=3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que é limitado por dois cilindros parabólicos, que são as curvas $ y = 2 - x^{2} $ e $ y = x^{2} $, além dos planos $ z = 0 $ e $ z = 3 $. Para isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas e triplas, para encontrar o volume desse espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região onde os cilindros parabólicos se encontram. Temos duas equações:
  1. $ y = 2 - x^{2} $
  2. $ y = x^{2} $
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas parábolas. Para isso, igualamos as duas equações:
y = 2 - x^2
Resolvendo isso:
y = x^2
2 - x^2 = x^2
2 = 2x^2
Então, as parábolas se cruzam nos pontos $ x = -1 $ e $ x = 1 $.

Passo 3

Agora que sabemos onde as parábolas se encontram, vamos desenhar a região no plano XY. Entre $ x = -1 $ e $ x = 1 $, a parábola $ y = 2 - x^{2} $ está acima de $ y = x^{2} $. Portanto, para cada valor de $ x $ entre -1 e 1, $ y $ varia de $ x^{2} $ até $ 2 - x^{2} $.

Passo 4

O próximo passo é configurar a integral dupla que representa a área da região no plano XY. A integral dupla será:
integralx=-1^1 integraly=x^2^2 - x^2 dy , dx
Essa integral calcula a área da base do sólido.

Passo 5

Como o sólido é limitado pelos planos $ z = 0 $ e $ z = 3 $, o volume será a área da base multiplicada pela altura $ z $. Portanto, o volume $ V $ pode ser calculado da seguinte forma usando uma integral tripla:
z = 0

Passo 6

Vamos resolver a integral mais interna primeiro, que é em relação a $ z $:
z
Agora, o volume fica:
integralz=0^3 dz = 3 - 0 = 3

Passo 7

Podemos fatorar o 3 para fora das integrais:
V = 3 integralx=-1^1 integraly=x^2^2 - x^2 dy , dx
Agora, vamos calcular a integral dupla que representa a área da base.

Passo 8

Calculando a integral interna em relação a $ y $:
y
Então, o volume fica:
integraly=x^2^2 - x^2 dy = (2 - x^2) - (x^2) = 2 - 2x^2

Passo 9

Fatorando o 2:
V = 3 times 2 integralx=-1^1 (1 - x^2) , dx
V = 6 integralx=-1^1 (1 - x^2) , dx

Passo 10

Calculando a integral:
integral (1 - x^2) , dx = x - x^33
Avaliado de $ x = -1 $ a $ x = 1 $:
x = -1

Passo 11

Agora, multiplicando pelo 6:
V = 6 times 43 = 8

Resposta

O volume do sólido é $ 8 $ unidades cúbicas.

Exercícios relacionados