Calcule o volume do sólido limitado pelos cilindros parabólicos
e pelos planos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que é limitado por dois cilindros parabólicos, que são as curvas $ y = 2 - x^{2} $ e $ y = x^{2} $, além dos planos $ z = 0 $ e $ z = 3 $. Para isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas e triplas, para encontrar o volume desse espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região onde os cilindros parabólicos se encontram. Temos duas equações:
- $ y = 2 - x^{2} $
- $ y = x^{2} $
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas parábolas. Para isso, igualamos as duas equações:
Resolvendo isso:
Então, as parábolas se cruzam nos pontos $ x = -1 $ e $ x = 1 $.
Passo 3
Agora que sabemos onde as parábolas se encontram, vamos desenhar a região no plano XY. Entre $ x = -1 $ e $ x = 1 $, a parábola $ y = 2 - x^{2} $ está acima de $ y = x^{2} $. Portanto, para cada valor de $ x $ entre -1 e 1, $ y $ varia de $ x^{2} $ até $ 2 - x^{2} $.
Passo 4
O próximo passo é configurar a integral dupla que representa a área da região no plano XY. A integral dupla será:
Essa integral calcula a área da base do sólido.
Passo 5
Como o sólido é limitado pelos planos $ z = 0 $ e $ z = 3 $, o volume será a área da base multiplicada pela altura $ z $. Portanto, o volume $ V $ pode ser calculado da seguinte forma usando uma integral tripla:
Passo 6
Vamos resolver a integral mais interna primeiro, que é em relação a $ z $:
Agora, o volume fica:
Passo 7
Podemos fatorar o 3 para fora das integrais:
Agora, vamos calcular a integral dupla que representa a área da base.
Passo 8
Calculando a integral interna em relação a $ y $:
Então, o volume fica:
Passo 9
Fatorando o 2:
Passo 10
Calculando a integral:
Avaliado de $ x = -1 $ a $ x = 1 $:
Passo 11
Agora, multiplicando pelo 6:
Resposta
O volume do sólido é $ 8 $ unidades cúbicas.