Dada
(b) Integre a série
Passo 1
O enunciado nos dá a soma da série geométrica
A pergunta (b) pede para “integrar a série”. Ou seja, encontrar uma primitiva (antiderivada) da série do lado esquerdo e relacioná‑la com a primitiva do lado direito, justificando a operação dentro do intervalo de convergência.
Passo 2
Regra e justificativa prática (explicação didática, sem jargão pesado): uma série de potências como
pode ser integrada termo a termo dentro do raio de convergência. Isso significa que
para todo
com
estritamente menor que o raio de convergência. No nosso caso o raio é
, pois a série geométrica converge para
. Portanto podemos integrar termo a termo para
.
Passo 3
Integramos o lado esquerdo termo a termo. Para cada
,
Somando e agrupando a constante (uma única constante
para a primitiva geral), obtemos a primitiva da série:
Passo 4
Agora integramos o lado direito explicitamente. Temos
onde
é o logaritmo natural e
é a constante de integração. Como as integrais das duas expressões representam a mesma família de primitivas (dado que as funções coincidem em
), podemos igualar as duas representações da primitiva:
As constantes são as mesmas; para fixar a constante convenientemente escolhemos o ponto
, onde fica fácil determinar
.
Passo 5
Avaliar em
para escolher a constante
. Pela série:
Pela primitiva do lado direito:
Portanto para a escolha que anula a primitiva em
obtemos
. Assim a igualdade conveniente é
Passo 6
Reescrevendo a soma com índice iniciado em
(reindexação para a forma mais comum): seja
, então
Logo a identidade final, válida para
, é
Passo 7
Observações úteis para a prova (rápidas, motivadoras):
- O raio de convergência permanece
após integrar a série; portanto a identidade vale para . - No ponto
a série diverge (soma harmônica), então não se pode estender a igualdade para . - Em
a série converge condicionalmente e dá , que é coerente com a fórmula pela continuidade até esse ponto por somação alternativa (mas a igualdade original foi garantida apenas para ).