Determine o raio e intervalo de convergência de
Passo 1
O enunciado dá a série de potências
e pede o raio e o intervalo de convergência.
Observação importante: o termo com
está mal definido porque envolve divisão por zero. Vou assumir que o enunciado quis dizer a série a partir de
, ou seja
que é a forma padrão dessa família de séries (essa é a hipótese natural e permite resolver o problema). A partir daqui trabalho com essa série.
As perguntas claras são:
- Determinar o raio de convergência
. - Determinar o intervalo de convergência (valores de
reais para os quais a série converge), incluindo o comportamento nos extremos .
Passo 2
Definição e método para achar o raio: para uma série de potências centrada em
uma maneira padrão de obter o raio de convergência
é usar a fórmula com o limite superior das raízes:
Explicando essa fórmula de forma intuitiva: aplicar o teste da raiz (root test) a
dá a condição
ou seja
daí
. Esse valor à direita é exatamente
. Essa é a forma mais direta e robusta para calcular
.
Passo 3
Aplicando ao nosso caso: aqui
para
. Calcular
Para avaliar esse limite, tomo logaritmo e uso uma propriedade de limites: escrever
Como
, segue que o logaritmo tende a
, logo a expressão inicial tende a
. Portanto
Passo 4
Com isso, pelo passo anterior,
Explicando em palavras: os coeficientes
decrescem lentamente, e a raiz
-ésima de
tende a
, o que implica que a série converge apenas para
(e possivelmente em alguns pontos da fronteira
).
Passo 5
Agora testar os extremos. Primeiro
. Substituindo na série obtemos
que é a série harmônica. Para ver que ela diverge, uso o teste da integral (ou comparação simples): a função
é positiva e decrescente em
e
logo pela integral test a série
diverge. Portanto a série não converge em
.
Passo 6
Agora
. Substituindo:
Aqui aplico o critério de Leibniz (teste da série alternada): se
é uma sequência positiva, decrescente e que tende a zero, então
converge. No nosso caso
é positiva, decrescente e
. Logo a série alternada converge. Note que a série dos valores absolutos é
(a harmônica), que diverge, então a convergência em
é condicional (não é absoluta).
Se quiser, o valor da soma é conhecido:
mas o que importa para o intervalo é que ela converge.
Passo 7
Juntando tudo:
- A série converge para todo
com . - Em
diverge. - Em
converge (condicionalmente).
Portanto o intervalo de convergência real é
Resposta
Raio de convergência:
Intervalo de convergência:
Intervalo de convergência: