Determine o raio e intervalo de convergência de
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n} .

Passo 1

O enunciado dá a série de potências
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n},
e pede o raio e o intervalo de convergência.
Observação importante: o termo com n=0 está mal definido porque envolve divisão por zero. Vou assumir que o enunciado quis dizer a série a partir de n=1, ou seja
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n},
que é a forma padrão dessa família de séries (essa é a hipótese natural e permite resolver o problema). A partir daqui trabalho com essa série.
As perguntas claras são:
  • Determinar o raio de convergência R.
  • Determinar o intervalo de convergência (valores de x reais para os quais a série converge), incluindo o comportamento nos extremos x=\pm1.

Passo 2

Definição e método para achar o raio: para uma série de potências centrada em 0
\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n},
uma maneira padrão de obter o raio de convergência R é usar a fórmula com o limite superior das raízes:
R = \frac{1}{\limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}}.
Explicando essa fórmula de forma intuitiva: aplicar o teste da raiz (root test) a |a_n x^n| dá a condição
\limsup_{n\to\infty} |a_n x^n|^{1/n} < 1,
ou seja
|x|\cdot \limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n} < 1,
daí |x| < 1/\limsup |a_n|^{1/n}. Esse valor à direita é exatamente R. Essa é a forma mais direta e robusta para calcular R.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: aqui a_n=\dfrac{1}{n} para n\ge1. Calcular
\limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n} = \lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n}\right)^{1/n}.
Para avaliar esse limite, tomo logaritmo e uso uma propriedade de limites: escrever
\ln\!\left(\left(\frac{1}{n}\right)^{1/n}\right)=\frac{\ln(1/n)}{n}=-\frac{\ln n}{n}.
Como \lim_{n\to\infty}\dfrac{\ln n}{n}=0, segue que o logaritmo tende a 0, logo a expressão inicial tende a e^{0}=1. Portanto
\limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}=1.

Passo 4

Com isso, pelo passo anterior,
R=\frac{1}{1}=1.
Explicando em palavras: os coeficientes 1/n decrescem lentamente, e a raiz n-ésima de 1/n tende a 1, o que implica que a série converge apenas para |x|<1 (e possivelmente em alguns pontos da fronteira |x|=1).

Passo 5

Agora testar os extremos. Primeiro x=1. Substituindo na série obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1^{n}}{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n},
que é a série harmônica. Para ver que ela diverge, uso o teste da integral (ou comparação simples): a função f(x)=1/x é positiva e decrescente em [1,\infty) e
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}\,dx=\lim_{t\to\infty}\ln t=+\infty,
logo pela integral test a série \sum_{n=1}^{\infty}1/n diverge. Portanto a série não converge em x=1.

Passo 6

Agora x=-1. Substituindo:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n}.
Aqui aplico o critério de Leibniz (teste da série alternada): se (b_n) é uma sequência positiva, decrescente e que tende a zero, então \sum (-1)^{n} b_n converge. No nosso caso b_n=\dfrac{1}{n} é positiva, decrescente e \lim_{n\to\infty} b_n=0. Logo a série alternada converge. Note que a série dos valores absolutos é \sum 1/n (a harmônica), que diverge, então a convergência em x=-1 é condicional (não é absoluta).
Se quiser, o valor da soma é conhecido:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n}=-\ln 2,
mas o que importa para o intervalo é que ela converge.

Passo 7

Juntando tudo:
  • A série converge para todo x com |x|<1.
  • Em x=1 diverge.
  • Em x=-1 converge (condicionalmente).
Portanto o intervalo de convergência real é
[-1,\,1).

Resposta

Raio de convergência: R=1
Intervalo de convergência: [-1,\,1)

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