Considere a função
.
(a) Determine o polinômio de Taylor de ordem 3 de
em torno de
(b) Use esse polinômio para aproximar
.
(c) Estime o erro dessa aproximação usando o resto de Lagrange.
(a) Determine o polinômio de Taylor de ordem 3 de
(b) Use esse polinômio para aproximar
(c) Estime o erro dessa aproximação usando o resto de Lagrange.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas:
- (a) Determinar o polinômio de Taylor de ordem 3 de
em torno de . - (b) Usar esse polinômio para aproximar
. (Observação: , ou seja usaremos .) - (c) Estimar o erro dessa aproximação usando o resto de Lagrange.
Informações relevantes fornecidas ou necessárias que já temos:
- A expansão é em torno de
(ponto de expansão ). - Para construir o polinômio de Taylor de ordem 3 precisamos de
. - Para estimar o erro pelo resto de Lagrange precisamos de
e do fato de que, para entre e , o valor fica em um intervalo que podemos controlar.
Passo 2
Recordando a fórmula de Taylor em torno de
(expansão de Maclaurin): para uma função suficientemente diferenciável,
e o resto de Lagrange da ordem 3 é
para algum
entre
e
. Aqui cada termo significa:
-
é a -ésima derivada de avaliada em . -
é o fatorial de . - O resto
dá a diferença exata ; na prática usamos uma cota para substituindo por um valor controlável.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
e avaliá‑las em
. Derivadas:
(Explicação rápida: ao derivar
usa‑se a regra da potência:
, e assim por diante.)
Agora avaliando em :
Agora avaliando em
Passo 4
Substituindo esses valores na fórmula de Maclaurin
:
Troca pelos números:
Simplificando
, obtemos o polinômio de ordem 3:
Esse é o polinômio pedido no item (a). Intuição rápida: os primeiros termos da expansão de
são
.
Passo 5
Agora usamos
para aproximar
. Como
, tomamos
em
:
Fazendo as contas passo a passo:
Somando:
Em forma racional (para exatidão):
. Essa é a aproximação pedida no item (b).
Passo 6
Estimando o erro com o resto de Lagrange. Precisamos de
. Derivando
obtemos
O resto de Lagrange para
é
para algum
entre
e
. Tomando o valor absoluto e usando
,
No nosso caso
e
está entre
e
. Para obter uma cota simples, observe que
, logo
Calculemos:
Portanto a estimativa pelo resto de Lagrange dá
Isto significa que a diferença entre
e a aproximação
tem magnitude no máximo
.
Passo 7
Sobre o sinal do erro: como
em
, o resto
é negativo. Isso significa que
superestima
; em outras palavras
e
. Como checagem rápida:
e
é cerca de
, consistentemente
é um pouco maior (diferença aproximadamente
, dentro da cota
).
Resposta
(a)
(b)
(c)