Considere a função f(x)=\ln (1+x).
(a) Determine o polinômio de Taylor de ordem 3 de f(x) em torno de x=0
(b) Use esse polinômio para aproximar \ln (1,2).
(c) Estime o erro dessa aproximação usando o resto de Lagrange.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\ln(1+x) e pede três coisas:
  • (a) Determinar o polinômio de Taylor de ordem 3 de f em torno de x=0.
  • (b) Usar esse polinômio para aproximar \ln(1,2). (Observação: \ln(1,2)=f(0,2)=f(0{,}2), ou seja usaremos x=0{,}2.)
  • (c) Estimar o erro dessa aproximação usando o resto de Lagrange.
Informações relevantes fornecidas ou necessárias que já temos:
  • A expansão é em torno de x=0 (ponto de expansão a=0).
  • Para construir o polinômio de Taylor de ordem 3 precisamos de f(0),f'(0),f''(0),f'''(0).
  • Para estimar o erro pelo resto de Lagrange precisamos de f^{(4)}(x) e do fato de que, para x entre 0 e 0{,}2, o valor f^{(4)}(\xi) fica em um intervalo que podemos controlar.

Passo 2

Recordando a fórmula de Taylor em torno de a=0 (expansão de Maclaurin): para uma função suficientemente diferenciável,
P_3(x)=f(0)+f'(0)\,x+\frac{f''(0)}{2!}\,x^2+\frac{f'''(0)}{3!}\,x^3,
e o resto de Lagrange da ordem 3 é
R_3(x)=\frac{f^{(4)}(\xi)}{4!}\,x^4
para algum \xi entre 0 e x. Aqui cada termo significa:
  • f^{(k)}(0) é a k-ésima derivada de f avaliada em 0.
  • k! é o fatorial de k.
  • O resto R_3(x) dá a diferença exata f(x)-P_3(x); na prática usamos uma cota para |R_3(x)| substituindo f^{(4)}(\xi) por um valor controlável.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de f(x)=\ln(1+x) e avaliá‑las em x=0. Derivadas:
f'(x)=\frac{1}{1+x},
f''(x)=-\frac{1}{(1+x)^2},
f'''(x)=\frac{2}{(1+x)^3}.
(Explicação rápida: ao derivar (1+x)^{-1} usa‑se a regra da potência: \frac{d}{dx}(1+x)^{-1}=-1(1+x)^{-2}\cdot1, e assim por diante.)
Agora avaliando em x=0:
f(0)=\ln(1)=0,
f'(0)=\frac{1}{1+0}=1,
f''(0)=-\frac{1}{(1+0)^2}=-1,
f'''(0)=\frac{2}{(1+0)^3}=2.

Passo 4

Substituindo esses valores na fórmula de Maclaurin P_3(x):
P_3(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3.
Troca pelos números:
P_3(x)=0 + 1\cdot x + \frac{-1}{2}\,x^2 + \frac{2}{6}\,x^3.
Simplificando \dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}, obtemos o polinômio de ordem 3:
P_3(x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}.
Esse é o polinômio pedido no item (a). Intuição rápida: os primeiros termos da expansão de \ln(1+x) são x-\tfrac{x^2}{2}+\tfrac{x^3}{3}-\cdots.

Passo 5

Agora usamos P_3 para aproximar \ln(1,2). Como \ln(1,2)=f(0,2)=f(0{,}2), tomamos x=0{,}2 em P_3:
P_3(0{,}2)=0{,}2-\frac{(0{,}2)^2}{2}+\frac{(0{,}2)^3}{3}.
Fazendo as contas passo a passo:
(0{,}2)^2=0{,}04,\qquad \frac{(0{,}2)^2}{2}=0{,}02,
(0{,}2)^3=0{,}008,\qquad \frac{(0{,}2)^3}{3}\approx 0{,}002666\ldots
Somando:
P_3(0{,}2)=0{,}2-0{,}02+0{,}002666\ldots =0{,}182666\ldots
Em forma racional (para exatidão): P_3(0{,}2)=\dfrac{137}{750}\approx 0{,}182666\ldots. Essa é a aproximação pedida no item (b).

Passo 6

Estimando o erro com o resto de Lagrange. Precisamos de f^{(4)}(x). Derivando f'''(x)=2(1+x)^{-3} obtemos
f^{(4)}(x)=-\frac{6}{(1+x)^4}.
O resto de Lagrange para n=3 é
R_3(x)=\frac{f^{(4)}(\xi)}{4!}\,x^4
para algum \xi entre 0 e x. Tomando o valor absoluto e usando 4!=24,
|R_3(x)|=\frac{|f^{(4)}(\xi)|}{24}\,|x|^4 = \frac{6}{24}\cdot\frac{|x|^4}{(1+\xi)^4}=\frac{1}{4}\cdot\frac{|x|^4}{(1+\xi)^4}.
No nosso caso x=0{,}2 e \xi está entre 0 e 0{,}2. Para obter uma cota simples, observe que (1+\xi)^4\ge(1+0)^4=1, logo
|R_3(0{,}2)|\le \frac{1}{4}\,(0{,}2)^4.
Calculemos:
(0{,}2)^2=0{,}04,\qquad (0{,}2)^4=(0{,}04)^2=0{,}0016,
\frac{1}{4}\,(0{,}2)^4=\frac{1}{4}\cdot0{,}0016=0{,}0004.
Portanto a estimativa pelo resto de Lagrange dá
|R_3(0{,}2)|\le 0{,}0004.
Isto significa que a diferença entre \ln(1,2) e a aproximação P_3(0{,}2) tem magnitude no máximo 0{,}0004.

Passo 7

Sobre o sinal do erro: como f^{(4)}(x)=-6/(1+x)^4<0 em [0,0{,}2], o resto R_3(0{,}2)=\dfrac{f^{(4)}(\xi)}{4!}(0{,}2)^4 é negativo. Isso significa que P_3(0{,}2) superestima \ln(1,2); em outras palavras
P_3(0{,}2)-\ln(1,2)= -\,|R_3(0{,}2)|,
e |R_3(0{,}2)|\le 0{,}0004. Como checagem rápida: P_3(0{,}2)\approx0{,}182666 e \ln(1{,}2) é cerca de 0{,}182322, consistentemente P_3 é um pouco maior (diferença aproximadamente 0{,}000344, dentro da cota 0{,}0004).

Resposta

(a) P_3(x)=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}
(b) \ln(1,2)\approx P_3(0{,}2)=\dfrac{137}{750}\approx 0{,}182666\ldots
(c) |\ln(1,2)-P_3(0{,}2)|\le 0{,}0004

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