Estude a série
\sum \frac{n!}{n^{n}} .

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum \frac{n!}{n^{n}}
e pede para estudá‑la, ou seja: decidir se ela converge ou diverge. Aqui vou analisar convergência (e, se convergente, se converge absolutamente).
Informações relevantes dadas:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{n!}{n^{n}}.
  • Queremos saber o comportamento da soma \sum_{n=1}^{\infty} a_n.

Passo 2

Vou usar o Teste da Razão (d’Alembert), que é um método padrão e eficiente para séries cujos termos envolvem fatoriais e potências.
Enunciado do Teste da Razão (explicado de forma simples):
  • Seja a_n uma sequência de termos positivos. Calcule L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}.
  • Se L<1, então a série \sum a_n converge absolutamente (logo converge).
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
“Converge absolutamente” significa que \sum |a_n| converge; aqui os a_n são positivos, então convergência absoluta é o mesmo que convergência simples. O porquê do teste: se a razão tende a um número menor que 1, a sequência de termos decresce geometricamente a partir de certo ponto, e uma série com termo tipo geometrico converge.

Passo 3

Calculo a razão \dfrac{a_{n+1}}{a_n} com a_n=\dfrac{n!}{n^{n}}.
Começando:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{(n+1)!}{(n+1)^{\,n+1}}}{\dfrac{n!}{n^{n}}} = \frac{(n+1)!\,n^{n}}{(n+1)^{\,n+1}\,n!}.
Simplificando (n+1)!/n! = n+1, obtemos
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)\,n^{n}}{(n+1)^{\,n+1}} = \frac{n^{n}}{(n+1)^{n}}.
Reescrevendo de forma mais conveniente:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}.

Passo 4

Agora preciso calcular o limite
L=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}.
Observe que
\frac{n}{n+1}=\frac{1}{1+\tfrac{1}{n}},
então
\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}=\left(1+\tfrac{1}{n}\right)^{-n}.
É um limite padrão que
\lim_{n\to\infty}\left(1+\tfrac{1}{n}\right)^{n}=e,
onde e\approx 2,71828 é a base dos logaritmos naturais. Portanto, tomando inversa,
\lim_{n\to\infty}\left(1+\tfrac{1}{n}\right)^{-n}=e^{-1}.
Logo
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=e^{-1}.
Breve comentário didático sobre esse fato: a sequência \left(1+\tfrac{1}{n}\right)^{n} é crescente e limitada superiormente, e seu limite é justamente a constante e. Assim seu inverso tende a e^{-1}. Se não recordar a prova completa, é suficiente saber esse limite padrão para usar o teste da razão.

Passo 5

Como L=e^{-1} e e^{-1}\approx 0,3679<1, o Teste da Razão diz que a série \sum \dfrac{n!}{n^{n}} converge absolutamente.
Intuição prática: a razão entre termos sucessivos tende a um número menor que 1, então a partir de certo N os termos decrescem aproximadamente como uma progressão geométrica com razão r tal que r<1. Uma série geométrica com razão r<1 converge, então a nossa também converge (até mesmo de forma absolutamente).

Passo 6

Resumo do procedimento aplicado (para levar à prova):
  • Definiu‑se a_n=\dfrac{n!}{n^{n}}.
  • Aplicou‑se o Teste da Razão: \dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\left(\dfrac{n}{n+1}\right)^n.
  • Usou‑se o limite padrão \left(1+\tfrac{1}{n}\right)^n\to e para obter \left(\dfrac{n}{n+1}\right)^n\to e^{-1}<1.
  • Concluiu‑se que a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente (logo converge).

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