Estude a série
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede para estudá‑la, ou seja: decidir se ela converge ou diverge. Aqui vou analisar convergência (e, se convergente, se converge absolutamente).
Informações relevantes dadas:
- O termo geral é
. - Queremos saber o comportamento da soma
.
Passo 2
Vou usar o Teste da Razão (d’Alembert), que é um método padrão e eficiente para séries cujos termos envolvem fatoriais e potências.
Enunciado do Teste da Razão (explicado de forma simples):
- Seja
uma sequência de termos positivos. Calcule - Se
, então a série converge absolutamente (logo converge). - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
“Converge absolutamente” significa que
converge; aqui os
são positivos, então convergência absoluta é o mesmo que convergência simples. O porquê do teste: se a razão tende a um número menor que 1, a sequência de termos decresce geometricamente a partir de certo ponto, e uma série com termo tipo geometrico converge.
Passo 3
Calculo a razão
com
.
Começando:
Simplificando
, obtemos
Reescrevendo de forma mais conveniente:
Passo 4
Agora preciso calcular o limite
Observe que
então
É um limite padrão que
onde
é a base dos logaritmos naturais. Portanto, tomando inversa,
Logo
Breve comentário didático sobre esse fato: a sequência
é crescente e limitada superiormente, e seu limite é justamente a constante
. Assim seu inverso tende a
. Se não recordar a prova completa, é suficiente saber esse limite padrão para usar o teste da razão.
Passo 5
Como
e
, o Teste da Razão diz que a série
converge absolutamente.
Intuição prática: a razão entre termos sucessivos tende a um número menor que
, então a partir de certo
os termos decrescem aproximadamente como uma progressão geométrica com razão
tal que
. Uma série geométrica com razão
converge, então a nossa também converge (até mesmo de forma absolutamente).
Passo 6
Resumo do procedimento aplicado (para levar à prova):
- Definiu‑se
. - Aplicou‑se o Teste da Razão:
. - Usou‑se o limite padrão
para obter . - Concluiu‑se que a série converge absolutamente.
Resposta
A série converge absolutamente (logo converge).