Dada a superfície
, determinar a reta tangente às curvas de intersecção da superfície com:
Passo 1
O enunciado pede as retas tangentes, em
onde
Como ambas passam por não é diferenciável no ápice, vamos usar coordenadas polares para achar as direções em que ambas se tocam.
Passo 2
Em coordenadas polares ponha
Na superfície
S1 temos
Passo 3
No numerador de
note que
Como o denominador é
, segue
Passo 4
A interseção
S1cap S2 exige
Para que a curva chegue a
(0,0,0) é preciso
r=0 e, portanto,
h(theta)=0 . Cada solução
theta de
h(theta)=0 dá uma reta tangente.
Passo 5
Escreva
As soluções são
-
, ou sejasintheta=0 .theta=0,pi - A outra raiz real vem de
isto é
theta=arctan(-tfrac12) e
theta=arctan(-tfrac12)+pi .
Passo 6
Para cada ângulo
thetak tal que
h(thetak)=0 , a reta tangente em
(0,0,0) é dada pelo parâmetro
t
As quatro direções são:
theta1=0 ,
theta2=pi ,
theta3=arctan(-tfrac12) ,
theta4=arctan(-tfrac12)+pi .
Resposta
As retas tangentes em
(0,0,0) são, para
tinR :