Dada a superfície z=raizx^2+y^2, determinar a reta tangente às curvas de intersecção da superfície com:
f(x, y)=cly^4+3 x^2 y^2+2 y x^3(x^2+y^2)^2, & (x, y) neq(0,0) 0, & (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado pede as retas tangentes, em
onde
Como ambas passam por não é diferenciável no ápice, vamos usar coordenadas polares para achar as direções em que ambas se tocam.

Passo 2

Em coordenadas polares ponha
x = rcostheta, y = rsintheta, r>=0
Na superfície S1 temos
z = raizx^2+y^2=r

Passo 3

No numerador de note que
Como o denominador é , segue

Passo 4

A interseção S1cap S2 exige
r = h(theta)
Para que a curva chegue a (0,0,0) é preciso r=0 e, portanto, h(theta)=0. Cada solução theta de h(theta)=0 dá uma reta tangente.

Passo 5

Escreva
h(theta) =sin^2thetal(sin^2theta+3cos^2thetar) +2sinthetacos^3theta =sintheta;l[sin^3theta+3cos^2thetasintheta+2cos^3thetar]
As soluções são
  1. sintheta=0, ou seja theta=0,pi.
  2. A outra raiz real vem de
4tan^3theta+3tantheta+2=0 ;Longrightarrow; tantheta=-tfrac12,
isto é theta=arctan(-tfrac12) e theta=arctan(-tfrac12)+pi.

Passo 6

Para cada ângulo thetak tal que h(thetak)=0, a reta tangente em (0,0,0) é dada pelo parâmetro t
(x,y,z) =(tcosthetak,;tsinthetak,;t)
As quatro direções são:
theta1=0, theta2=pi,
theta3=arctan(-tfrac12), theta4=arctan(-tfrac12)+pi.

Resposta

As retas tangentes em (0,0,0) são, para tinR:
L1:;(x,y,z)=(t,,0,,t), L2:;(x,y,z)=(-t,,0,,t),
L3:;(x,y,z)=l(tfrac2raiz5t,,-tfrac1raiz5t,,tr), L4:;(x,y,z)=l(-tfrac2raiz5t,,tfrac1raiz5t,,tr)

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