Dada a superfície z=e^{x} \sin y :
(a) Encontre a equação do plano tangente em (0, \pi / 2,1)
(b) Use-o para aproximar z(0.1, \pi / 2+0.2)

Passo 1

O enunciado dá a superfície z = e^{x}\sin y e pede:
(a) a equação do plano tangente em (0,\tfrac\pi2,1);
(b) usar esse plano para aproximar z(0.1,\tfrac\pi2+0.2).
Para isso vamos precisar das derivadas parciais de z e da fórmula do plano tangente via linearização.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de z:
z_x = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x}\sin y\bigr) = e^{x}\sin y,
z_y = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x}\sin y\bigr) = e^{x}\cos y.

Passo 3

Avaliar as derivadas no ponto \bigl(0,\tfrac\pi2\bigr):
\sin\bigl(\tfrac\pi2\bigr)=1,\quad \cos\bigl(\tfrac\pi2\bigr)=0,
z_x(0,\tfrac\pi2)=e^0\cdot1=1,\quad z_y(0,\tfrac\pi2)=e^0\cdot0=0.
A equação do plano tangente em (x_0,y_0,z_0)=(0,\tfrac\pi2,1) é
z - z_0 = z_x(0,\tfrac\pi2)\,(x - x_0) + z_y(0,\tfrac\pi2)\,(y - y_0),
ou seja,
z - 1 = 1\cdot(x-0)+0\cdot\bigl(y-\tfrac\pi2\bigr) \quad\Longrightarrow\quad z = x + 1.

Passo 4

Para aproximar z em \bigl(0{,}1,\tfrac\pi2+0{,}2\bigr), usamos a linearização
L(x,y)=x+1.

Passo 5

Avaliar L no ponto dado:
L\bigl(0{,}1,\tfrac\pi2+0{,}2\bigr)=0{,}1+1=1{,}1.

Resposta

(a) z = x + 1.
(b) z(0{,}1,\tfrac\pi2+0{,}2)\approx 1{,}1.

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