Considere a transformação de coordenadas
:
(a) Reescreva a equação
nas novas variáveis
(b) Verifique para
(a) Reescreva a equação
(b) Verifique para
Passo 1
O enunciado pede duas tarefas usando a transformação de coordenadas
(a) Reescrever a equação de Laplace
nas variáveis
.
(b) Verificar que a função
(b) Verificar que a função
satisfaça essa equação reescrita. Para isso vamos aplicar a regra da cadeia e calcular as derivadas parciais de segunda ordem em
.
Passo 2
Usamos a regra da cadeia para expressar
e
em termos de
e
. Como
temos
Logo, ao aplicar duas vezes cada derivada obtemos
Passo 3
Somando as duas expressões cancelam-se os termos mistos:
Portanto, a equação de Laplace em
fica
Passo 4
Agora verificamos para
. Calculamos as derivadas segundas em
e
:
Somando
Isso mostra que
satisfaz a equação de Laplace reescrita.
Resposta
(a) Em
:
(b) Para
obtém-se
logo ela satisfaz a equação.