Considere a transformação de coordenadas u=x+y, v=x-y :
(a) Reescreva a equação \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=0 nas novas variáveis
(b) Verifique para f(u, v)=e^{u} \cos v

Passo 1

O enunciado pede duas tarefas usando a transformação de coordenadas
u = x + y,\quad v = x - y.
(a) Reescrever a equação de Laplace
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} = 0
nas variáveis (u,v).
(b) Verificar que a função
f(u,v) = e^{u}\cos v
satisfaça essa equação reescrita. Para isso vamos aplicar a regra da cadeia e calcular as derivadas parciais de segunda ordem em u,v.

Passo 2

Usamos a regra da cadeia para expressar \partial/\partial x e \partial/\partial y em termos de \partial/\partial u e \partial/\partial v. Como
u_x = 1,\;v_x = 1,\quad u_y = 1,\;v_y = -1,
temos
\frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial x}\,\frac{\partial}{\partial u} + \frac{\partial v}{\partial x}\,\frac{\partial}{\partial v} = \frac{\partial}{\partial u} + \frac{\partial}{\partial v},
\frac{\partial}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial y}\,\frac{\partial}{\partial u} + \frac{\partial v}{\partial y}\,\frac{\partial}{\partial v} = \frac{\partial}{\partial u} - \frac{\partial}{\partial v}.
Logo, ao aplicar duas vezes cada derivada obtemos
\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} = \biggl(\frac{\partial}{\partial u} + \frac{\partial}{\partial v}\biggr)^{2} = \frac{\partial^{2}}{\partial u^{2}} +2\frac{\partial^{2}}{\partial u\,\partial v} + \frac{\partial^{2}}{\partial v^{2}},
\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} = \biggl(\frac{\partial}{\partial u} - \frac{\partial}{\partial v}\biggr)^{2} = \frac{\partial^{2}}{\partial u^{2}} -2\frac{\partial^{2}}{\partial u\,\partial v} + \frac{\partial^{2}}{\partial v^{2}}.

Passo 3

Somando as duas expressões cancelam-se os termos mistos:
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} = \Bigl(\!f_{uu}+2f_{uv}+f_{vv}\Bigr) + \Bigl(\!f_{uu}-2f_{uv}+f_{vv}\Bigr) = 2\bigl(f_{uu}+f_{vv}\bigr).
Portanto, a equação de Laplace em (u,v) fica
f_{uu} + f_{vv} = 0.

Passo 4

Agora verificamos para f(u,v)=e^{u}\cos v. Calculamos as derivadas segundas em u e v:
f_u = e^{u}\cos v,\quad f_{uu} = e^{u}\cos v,
f_v = -e^{u}\sin v,\quad f_{vv} = -e^{u}\cos v.
Somando
f_{uu} + f_{vv} = e^{u}\cos v \;+\; \bigl(-e^{u}\cos v\bigr) = 0.
Isso mostra que f satisfaz a equação de Laplace reescrita.

Resposta

(a) Em (u,v):
f_{uu} + f_{vv} = 0.
(b) Para f(u,v)=e^{u}\cos v obtém-se
f_{uu}+f_{vv}=0,
logo ela satisfaz a equação.

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