O crescimento de uma população de bactérias é modelado por N(t, R)=N_{0} e^{k t} \cdot \frac{R}{R+C}, onde R é a disponibilidade de recursos:
(a) Encontre a aproximação linear para pequenas variações em t e R
(b) Se t aumenta 0.5 horas e R diminui 10 \%, qual a variação percentual aproximada em N ?
Passo 1
O enunciado dá a função
N(t,R)=N_{0}\,e^{k\,t}\,\frac{R}{R+C}
e pede: (a) a aproximação linear para pequenas variações \Delta t e \Delta R; (b) usando \Delta t=0,5 h e \Delta R=-0,1\,R, achar a variação percentual aproximada de N. Vamos usar o conceito de diferencial total:
\Delta N \approx \frac{\partial N}{\partial t}\,\Delta t + \frac{\partial N}{\partial R}\,\Delta R.
Passo 2
Calcular \displaystyle \frac{\partial N}{\partial t}. Como
\Delta N \approx k\,N(t,R)\,\Delta t \;+\; N_{0}e^{k\,t}\,\frac{C}{(R+C)^{2}}\,\Delta R.
Passo 5
Para achar a variação percentual, dividimos por N(t,R):
\frac{\Delta N}{N(t,R)} \approx k\,\Delta t \;+\;\frac{N_{0}e^{k\,t}\,\frac{C}{(R+C)^{2}}}{N_{0}e^{k\,t}\,\frac{R}{R+C}}\;\Delta R = k\,\Delta t + \frac{C}{R\,(R+C)}\,\Delta R.