O crescimento de uma população de bactérias é modelado por N(t, R)=N_{0} e^{k t} \cdot \frac{R}{R+C}, onde R é a disponibilidade de recursos:
(a) Encontre a aproximação linear para pequenas variações em t e R
(b) Se t aumenta 0.5 horas e R diminui 10 \%, qual a variação percentual aproximada em N ?

Passo 1

O enunciado dá a função
N(t,R)=N_{0}\,e^{k\,t}\,\frac{R}{R+C}
e pede: (a) a aproximação linear para pequenas variações \Delta t e \Delta R; (b) usando \Delta t=0,5 h e \Delta R=-0,1\,R, achar a variação percentual aproximada de N. Vamos usar o conceito de diferencial total:
\Delta N \approx \frac{\partial N}{\partial t}\,\Delta t + \frac{\partial N}{\partial R}\,\Delta R.

Passo 2

Calcular \displaystyle \frac{\partial N}{\partial t}. Como
N(t,R)=\underbrace{N_{0}e^{k\,t}}_{A(t)}\cdot\frac{R}{R+C},
a derivada em relação a t trata \tfrac{R}{R+C} como constante. Logo,
\frac{\partial N}{\partial t} = N_{0} \frac{R}{R+C}\,\frac{d}{dt}\bigl(e^{k\,t}\bigr) = N_{0}e^{k\,t}\,\frac{R}{R+C}\,k = k\,N(t,R).

Passo 3

Calcular \displaystyle \frac{\partial N}{\partial R}. Agora e^{k\,t} é constante e usamos a regra do quociente em R/(R+C):
\frac{d}{dR}\Bigl(\frac{R}{R+C}\Bigr) =\frac{(R+C)\cdot1 - R\cdot1}{(R+C)^{2}} =\frac{C}{(R+C)^{2}}.
Portanto
\frac{\partial N}{\partial R} = N_{0}e^{k\,t}\,\frac{C}{(R+C)^{2}}.

Passo 4

Escrever a aproximação linear completa:
\Delta N \approx k\,N(t,R)\,\Delta t \;+\; N_{0}e^{k\,t}\,\frac{C}{(R+C)^{2}}\,\Delta R.

Passo 5

Para achar a variação percentual, dividimos por N(t,R):
\frac{\Delta N}{N(t,R)} \approx k\,\Delta t \;+\;\frac{N_{0}e^{k\,t}\,\frac{C}{(R+C)^{2}}}{N_{0}e^{k\,t}\,\frac{R}{R+C}}\;\Delta R = k\,\Delta t + \frac{C}{R\,(R+C)}\,\Delta R.

Passo 6

Substituir \Delta t=0,5 e \Delta R=-0,1\,R:
\frac{\Delta N}{N} \approx k\,(0,5) \;+\;\frac{C}{R\,(R+C)}\bigl(-0,1\,R\bigr) =0,5\,k -0,1\,\frac{C}{R+C}.
Multiplicando por 100\% dá a variação percentual aproximada:

Resposta

A variação percentual aproximada em N é
100\%\times\Bigl(0,5\,k -0,1\,\frac{C}{R+C}\Bigr).

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