O volume de um cilindro circular é dado por V(r, h)=\pi r^{2} h :
(a) Encontre a diferencial total d V
(b) Estime o erro percentual máximo no volume se r e h têm erros de até 1.5 \% e 2 \% respectivamente

Passo 1

O enunciado dá o volume de um cilindro como
V(r,h)=\pi\,r^{2}h
e pede (a) a diferencial total dV e (b) uma estimativa do erro percentual máximo em V se r e h têm erros relativos de até 1,5\% e 2\%. Vamos usar cálculo de derivadas parciais para a parte (a) e, em seguida, a aproximação linear para propagação de erros na parte (b).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de V em relação a r e a h:
\frac{\partial V}{\partial r} =2\pi\,r\,h, \qquad \frac{\partial V}{\partial h} =\pi\,r^{2}.
Pela fórmula da diferencial total,
dV =\frac{\partial V}{\partial r}\,dr +\frac{\partial V}{\partial h}\,dh =2\pi\,r\,h\,dr +\pi\,r^{2}\,dh.

Passo 3

Para estimar o erro percentual em V usamos a aproximação
\frac{dV}{V} \approx \frac{2\pi\,r\,h\,dr+\pi\,r^{2}\,dh}{\pi\,r^{2}h} =2\,\frac{dr}{r}+\frac{dh}{h}.
Aqui \tfrac{dr}{r} e \tfrac{dh}{h} são os erros relativos em r e h.

Passo 4

Se \tfrac{dr}{r}\le0,015 (isto é, 1,5\%) e \tfrac{dh}{h}\le0,02 (isto é, 2\%), o erro percentual máximo em V é
\frac{dV}{V} \approx 2\cdot0,015+0,02 =0,05 \quad\Longrightarrow\quad 5\%.

Resposta

(a) \displaystyle dV=2\pi\,r\,h\,dr+\pi\,r^{2}\,dh.
(b) O erro percentual máximo aproximado em V é 5\%.

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