Dada a superfície
, determine:
b) a classificação do ponto
, se possível, como extremo da superfície.
b) a classificação do ponto
Passo 1
Temos a superfície z = -x^{2} - y^{2} + 6x - 4y - 4, que é uma função f(x,y) de duas variáveis. O conteúdo é encontrar e classificar pontos críticos usando gradiente e teste da segunda derivada (matriz Hessiana).
Passo 2
Primeiro conferimos se P(3,-2,9) realmente está na superfície, substituindo x=3 e y=-2 em f(x,y):
Passo 3
Em seguida, calculamos o gradiente de f:
Passo 4
Igualamos a zero para achar o ponto crítico:
Esse é exatamente o ponto (3,-2) com z=9, ou seja P é o único ponto crítico.
Passo 5
Agora usamos a matriz Hessiana e o teste da segunda derivada. As segundas derivadas são:
Passo 6
O discriminante do teste é D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^{2} = (-2)(-2) - 0 = 4 > 0. Como f_{xx} = -2 < 0, a Hessiana é definida negativa e P é ponto de máximo.
Portanto, o ponto P(3,-2,9) é um ponto de máximo. Como a parábola é voltada para baixo em todas as direções, esse máximo é também o máximo global da superfície.
Portanto, o ponto P(3,-2,9) é um ponto de máximo. Como a parábola é voltada para baixo em todas as direções, esse máximo é também o máximo global da superfície.
Resposta
P(3,-2,9) é um ponto de máximo local (e global) da superfície.