Dada a superfície z=-x^2-y^2+6 x-4 y-4, determine:
b) a classificação do ponto P(3,-2,9), se possível, como extremo da superfície.

Passo 1

Temos a superfície z = -x^{2} - y^{2} + 6x - 4y - 4, que é uma função f(x,y) de duas variáveis. O conteúdo é encontrar e classificar pontos críticos usando gradiente e teste da segunda derivada (matriz Hessiana).

Passo 2

Primeiro conferimos se P(3,-2,9) realmente está na superfície, substituindo x=3 e y=-2 em f(x,y):
f(3,-2) = -(3)^2 - (-2)^2 + 6cdot3 - 4cdot(-2) - 4 = -9 -4 +18 +8 -4 = 9,o que coincide com z=9, então P está sobre a superfície.

Passo 3

Em seguida, calculamos o gradiente de f:
fx = partial zpartial x = -2x + 6,
fy = partial zpartial y = -2y - 4

Passo 4

Igualamos a zero para achar o ponto crítico:
-2x + 6 = 0 implies x=3,
-2y - 4 = 0 implies y=-2
Esse é exatamente o ponto (3,-2) com z=9, ou seja P é o único ponto crítico.

Passo 5

Agora usamos a matriz Hessiana e o teste da segunda derivada. As segundas derivadas são:
fxx = -2, fyy = -2, fxy = 0

Passo 6

O discriminante do teste é D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^{2} = (-2)(-2) - 0 = 4 > 0. Como f_{xx} = -2 < 0, a Hessiana é definida negativa e P é ponto de máximo.
Portanto, o ponto P(3,-2,9) é um ponto de máximo. Como a parábola é voltada para baixo em todas as direções, esse máximo é também o máximo global da superfície.

Resposta

P(3,-2,9) é um ponto de máximo local (e global) da superfície.

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