Aplique a regra da cadeia para encontrar a derivada das funções abaixo:
i) f(x)=ln (tan (x))

Passo 1

O enunciado pede que a gente aplique a regra da cadeia para encontrar a derivada de f(x)=ln(tan(x)). O conteúdo envolvido é diferenciação de função composta; vamos usar a derivada de ln(u) e de tan(x).

Passo 2

Definimos a função interna e externa. Seja u(x)=tan(x) e v(u)=ln(u). Então f(x)=v(u(x)).

Passo 3

Calculamos as derivadas separadamente. A derivada da externa é v'(u)=1/u e a derivada da interna é u'(x)=ddxtan(x)=sec^2(x)

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia: f'(x)=v'(u(x))cdot u'(x)=1tan(x)cdotsec^2(x)

Passo 5

Agora simplificamos essa expressão. Como sec(x)=1/cos(x) e tan(x)=sin(x)/cos(x), temos: f'(x)=1/cos^2(x)sin(x)/cos(x)=1sin(x),cos(x)

Resposta

f'(x)=1sin(x)cos(x)

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