Dada a T.L. T: R^2 R^2 tal que Nuc(T)=span(1,1) e Im(T)=span(2,1), determine T(x, y).

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear
T: R^2 to R^2
tal que
Nuc(T)=span(1,1)
e
Im(T)=span(2,1).
O conteúdo envolve núcleo e imagem de transformações lineares.

Passo 2

Qualquer transformação linear com núcleo de dimensão 1 e imagem de dimensão 1 pode ser escrita como
T(v) ;=; f(v),u
onde u é um vetor não nulo que gera a imagem e f é um funcional linear cujo núcleo coincide com Nuc(T).

Passo 3

Escolhemos u=(2,1) (gera Im(T)) e procuramos f(x,y)=a,x+b,y tal que f(1,1)=0.
A condição acdot1 + bcdot1=0 b=-a. Para simplicidade tomamos a=1, b=-1, isto é
f(x,y)=x-y

Passo 4

Substituindo em T(x,y)=f(x,y),u obtemos
T(x,y) = (x-y),(2,1) = l(2(x-y),,x-yr)

Passo 5

Verificações:
  • Se x=y então T(x,y)=(0,0), logo Nuc(T)=(x,x)=span(1,1).
  • Para todo (x,y), T(x,y) é múltiplo de (2,1), então Im(T)=span(2,1).

Resposta

T(x,y) = l(2(x-y),,x-yr)

Exercícios relacionados