Questão 4 (2,0 pontos)
Considere u=(1,2,-1), v=(3,0,2) e w=(2,-1, k) :
(a) Calcule [u, v, w] em função de k

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores u=(1,2,-1), v=(3,0,2) e w=(2,-1,k) e pede o produto misto [u,v,w] em função de k. Isso é um determinante 3times3, então vamos usar a definição de produto misto via determinante.

Passo 2

Escrevemos o produto misto como o determinante
[u,v,w] = 1 & 2 & -1 3 & 0 & 2 2 & -1 & k

Passo 3

Vamos expandir esse determinante pela primeira linha e calcular os menores correspondentes:
[u,v,w] =1cdot 0 & 2 -1 & k -2cdot 3 & 2 2 & k +(-1)cdot 3 & 0 2 & -1
Agora cada menor:
0 & 2 -1 & k =0cdot k - 2cdot(-1)=2, 3 & 2 2 & k =3k-4, 3 & 0 2 & -1 =3cdot(-1)-0cdot2=-3

Passo 4

Substituindo esses valores na expansão:
[u,v,w] =1cdot2 -2cdot(3k-4) +(-1)cdot(-3) =2 -6k +8 +3 =13 -6k

Resposta

[u,v,w] = 13 - 6k

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